芋づる算 の誤りを直す

芋づる算① 整数の組み合わせを全部見つける

芋（いも）づる算は、いくつかの数の組み合わせをもれなく全部見つける問題です。1つ答えが見つかると、つぎつぎに芋（いも）のように出てくることから、この名前がついています。

基本のやり方

「ax＋by＝c」（aとbとcは決まった数で、xとyは0以上の整数）の答えを全部見つけます。

  1. ① 片方の数（たとえばx）を0から順番に入れてみます。
  2. ② 残りの式がちゃんと計算できるかを見ます。
  3. ③ もう片方（y）が0以上の整数になるか調べます。
  4. ④ 見つかった組み合わせを、ぜんぶ表にまとめます。
例題
5円玉と3円玉を組み合わせて、ちょうど31円をはらう方法を全部見つけなさい。（どちらの硬貨も0枚以上）

解き方：5x＋3y＝31（x：5円玉の枚数、y：3円玉の枚数）
xを0から順に入れてみます。
x＝0：3y＝31 → わり切れない
x＝1：3y＝26 → わり切れない
x＝2：3y＝21 → y＝7 ✓
x＝3：3y＝16 → わり切れない
x＝4：3y＝11 → わり切れない
x＝5：3y＝6 → y＝2 ✓
x＝6：3y＝1 → わり切れない
x＝7：5×7＝35 で31をこえるから終了

答え：（x, y）＝（2, 7）と（5, 2）の2通り
ポイント
  • 片方の数を0から順番に1ずつふやして入れていきます。
  • 「3でわり切れるか」「2でわり切れるか」を1つずつていねいにチェックしましょう。
  • 合計金額をこえたら、それ以上ふやしてもダメなので、そこで終わりです。
  • 見つけた答えは、かならず表にまとめると、見落としがなくなります。

練習問題

  1. 4円と7円の切手をくみ合わせて、ちょうど30円分にする方法を全部見つけなさい。
  2. 合計3枚のコインで21円を作る方法を、10円玉と1円玉だけを使って全部見つけなさい。
  3. x＋3y＝20 になる、0以上の整数の組（x, y）を全部見つけなさい。

解答・解説

  1. 解答：4円4枚、7円2枚の1通り
    解説：4x＋7y＝30（x：4円、y：7円の枚数、0以上の整数）。y＝0,1,2,3,4を順に調べると、整数解になるのはy＝2、x＝4だけ。したがって4円4枚、7円2枚の1通りで、4×4＋7×2＝30。
  2. 解答：（10円2枚、1円1枚）の1通り
    解説：10円硬貨をx枚、1円硬貨をy枚とすると、10x＋y＝21かつx＋y＝3。y＝3－xを代入：10x＋（3－x）＝21。9x＝18。x＝2。y＝3－2＝1。答え：10円2枚、1円1枚。確認：10×2＋1×1＝21✓、2＋1＝3枚✓
  3. 解答：（x,y）＝（20,0）（17,1）（14,2）（11,3）（8,4）（5,5）（2,6）の7通り
    解説：x＋3y＝20（x,y≧0の整数）。y＝0：x＝20✓。y＝1：x＝17✓。y＝2：x＝14✓。y＝3：x＝11✓。y＝4：x＝8✓。y＝5：x＝5✓。y＝6：x＝2✓。y＝7：x＝20－21＝－1（負になるので不可）。答え：7通りの組み合わせ。

数学（中学受験）の関連レッスン