ニュートン算 の誤りを直す
ニュートン算① 草が生える牧場と牛の問題
ニュートン算は、「最初からある量」と「ふえつづける量」と「へらしていく量」が同時にある問題です。あの有名な科学者ニュートンが考えた問題が元になっています。
ニュートン算の3つの要素
- はじめの量（S）：もともとある草の量
- ふえる量（r）：1日に生える草の量
- 食べる量：牛1頭が1日に食べる量 × 頭数
N日たって草がなくなるとき、「はじめの量 ＋ ふえる量×日数 ＝ 食べる量×日数」が成り立ちます。
例題
ある牧場には草が生えていて、毎日同じ量ずつふえます。牛を10頭はなすと20日で草がなくなり、牛を15頭はなすと10日で草がなくなります。では、牛を6頭はなすと、何日で草がなくなるでしょうか。
解き方：牛1頭が1日に食べる量を「1」と決めます。
① 10頭×20日＝200（牛全体が食べた量）
② 15頭×10日＝150（牛全体が食べた量）
③ はじめの量をS、1日に生える量をrとすると、
S＋r×20＝200 …㋐
S＋r×10＝150 …㋑
④ ㋐－㋑：r×10＝50 → r＝5
⑤ ㋑にもどす：S＋50＝150 → S＝100
⑥ 6頭でN日とすると、100＋5×N＝6×N → N＝100日
ある牧場には草が生えていて、毎日同じ量ずつふえます。牛を10頭はなすと20日で草がなくなり、牛を15頭はなすと10日で草がなくなります。では、牛を6頭はなすと、何日で草がなくなるでしょうか。
解き方：牛1頭が1日に食べる量を「1」と決めます。
① 10頭×20日＝200（牛全体が食べた量）
② 15頭×10日＝150（牛全体が食べた量）
③ はじめの量をS、1日に生える量をrとすると、
S＋r×20＝200 …㋐
S＋r×10＝150 …㋑
④ ㋐－㋑：r×10＝50 → r＝5
⑤ ㋑にもどす：S＋50＝150 → S＝100
⑥ 6頭でN日とすると、100＋5×N＝6×N → N＝100日
ポイント
- 基本の式は「はじめの量 ＋ ふえる量×日数 ＝ 食べる量×日数」です。
- 2つの条件から、はじめの量とふえる量を求めましょう。
- 「牛1頭が1日に食べる量＝1」と決めると、計算がしやすくなります。
練習問題
- 牧場の草を牛20頭で食べると30日でなくなり、牛30頭だと15日でなくなります。牛を10頭にすると、何日でなくなりますか。
- 草が毎日10単位ふえる牧場に、はじめから200単位の草があります。牛1頭が毎日15単位食べるとき、牛を20頭はなすと何日で草がなくなりますか。
- 牛25頭で12日、牛15頭で24日で草がなくなる牧場があります。1日に生える草の量を求めなさい。
解答・解説
- 解答：90日
解説：牛1頭が1日に食べる量を1とする。条件①20頭×30日＝600（総消費量）、条件②30頭×15日＝450（総消費量）。S＋r×30＝600 …①、S＋r×15＝450 …②。①－②：r×15＝150→r＝10。②より：S＋150＝450→S＝300。10頭でN日：300＋10N＝10N→0N＝300→不能（10頭では消費量＝増加量で草がなくならない）。確認：10頭/日消費＝増加量10なので草は減らない。→「10頭以上でなければ草はなくならない」。11頭の場合：300＋10N＝11N→N＝300日。問題の答えとして「牛を10頭にすると草はなくならない（無限大）」が正解。 - 解答：約13.6日（200÷（20×15－10）＝200÷290≈0.69…実は20頭×15単位＝300単位/日消費で増加10単位/日）
解説：初期量S＝200、増加量r＝10/日、牛1頭が毎日15単位食べる、20頭で300単位/日消費。N日後に草がなくなる：200＋10N＝300N。200＝290N→N＝200÷290≈0.69日（1日未満）。20頭×15＝300単位/日消費は増加10単位を大幅に超えるため、非常に早く草がなくなる。N＝200÷（300－10）＝200÷290≈0.69日（約17時間）。 - 解答：1日の草の増加量＝15
解説：牛1頭が1日に食べる量を1とする。条件①25頭×12日＝300（総消費量）、条件②15頭×24日＝360（総消費量）。S＋r×12＝300 …①、S＋r×24＝360 …②。②－①：r×12＝60→r＝5。確認：①よりS＝300－60＝240。15頭×24日＝360、240＋5×24＝240＋120＝360✓。r＝5（牛1頭基準）。牛1頭1日食べる量を1として増加量＝5頭分/日。
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