ボーアの水素原子モデルとスペクトル
原子が特定の波長の光だけを放出・吸収する理由を、ボーアの量子条件で説明します。
基本知識
ボーアの水素原子モデルの2つの仮定:
① 量子条件: 電子は円軌道のみを取り、軌道の角運動量が h/(2π) の整数倍:mvr = nh/(2π) = nℏ（n = 1, 2, 3, ...: 主量子数）
② 振動数条件: エネルギー準位間の遷移で光子を放出・吸収:hf = E_m − E_n（E_m > E_n）
水素原子のエネルギー準位:E_n = −13.6/n² eV（n = 1: 基底状態 −13.6 eV）
電子が n = m から n = n（m > n）へ遷移するとき放出する光の振動数:hf = E_m − E_n = 13.6(1/n² − 1/m²) eV
水素のスペクトル系列: ライマン系列（紫外）、バルマー系列（可視）、パッシェン系列（赤外）
📘 重要用語
エネルギー準位 (energy level)（原子内電子が取り得る離散的なエネルギーの値）
基底状態・励起状態（最低エネルギー状態 / より高いエネルギー状態）
イオン化エネルギー（n = 1 から無限遠へ電子を取り出すエネルギー。水素 = 13.6 eV）
スペクトル系列（遷移先の n の値で分類。バルマー系列 n = 2 が可視光）
ℏ（エイチバー）（ℏ = h/(2π)：換算プランク定数）
エネルギー準位 (energy level)（原子内電子が取り得る離散的なエネルギーの値）
基底状態・励起状態（最低エネルギー状態 / より高いエネルギー状態）
イオン化エネルギー（n = 1 から無限遠へ電子を取り出すエネルギー。水素 = 13.6 eV）
スペクトル系列（遷移先の n の値で分類。バルマー系列 n = 2 が可視光）
ℏ（エイチバー）（ℏ = h/(2π)：換算プランク定数）
深掘り (背景・意義)
E_n = −13.6/n² は円軌道の力学（クーロン力 = 向心力）と量子条件を組み合わせて導出できます。電子の全エネルギー（運動 + ポテンシャル）は負であり、n が大きいほど 0 に近づきます（n → ∞ で電離）。
ボーアモデルは水素の実験スペクトルを完全に説明しましたが、多電子原子には適用できません。完全な解はシュレーディンガー方程式（量子力学）で与えられます。
レーザー（LASER）は励起状態の原子を誘導放出させて同位相・同振動数の光を増幅する装置で、スペクトル（エネルギー準位差）の理解が基礎となります。
💡 ポイント
- E_n = −13.6/n² eV
- n = 1 が基底状態（最も安定）
- 光子放出: 高準位 → 低準位
- hf = E_m − E_n
- バルマー系列（n = 2 行き）が可視光
- イオン化エネルギー: 13.6 eV
- 量子条件: mvr = nℏ
注意点 (混同しやすい)
① E_n は負の値。n が大きいほど E_n は大きい（0 に近い）。② 光子を放出するのは高い準位から低い準位への遷移。③ 吸収は逆（低→高）。④ イオン化は n → ∞ へ移ること。
練習
- 水素原子で n = 3 から n = 2 に遷移するときの光子エネルギーを eV で求めよ。
- 水素のイオン化エネルギーは何 eV か。
- バルマー系列とはどのような遷移によるスペクトルか説明しなさい。