平方根の応用⑤ まとめと総合問題
平方根の応用に関するこれまでの内容をまとめ、総合的な問題に取り組みます。
まとめ
平方根の応用では以下の内容が重要です。
・式の値：因数分解で変形してから代入
・整数部分・小数部分：大小関係で整数部分を特定
・乗法公式の利用：展開後に根号をまとめる
・近似値の利用：式を整理してから代入
📘 例題①（総合）
x = √2 のとき、x² + 4x + 4 の値を求めなさい。
解答：x² + 4x + 4 = (x + 2)² = (√2 + 2)² = 2 + 4√2 + 4 = 6 + 4√2
x = √2 のとき、x² + 4x + 4 の値を求めなさい。
解答：x² + 4x + 4 = (x + 2)² = (√2 + 2)² = 2 + 4√2 + 4 = 6 + 4√2
📘 例題②（総合）
(√3 + √2)² − (√3 − √2)² を計算しなさい。
解答：展開すると (3+2√6+2) − (3−2√6+2) = 5+2√6 − 5+2√6 = 4√6
(√3 + √2)² − (√3 − √2)² を計算しなさい。
解答：展開すると (3+2√6+2) − (3−2√6+2) = 5+2√6 − 5+2√6 = 4√6
💡 ポイント
- 複雑な式は A² − B² = (A+B)(A−B) で変形できないか考える
- 計算後の根号部分と有理数部分を分けて整理する
- 答えを見直すとき展開・因数分解で検証する
練習問題
- x = 2√3 のとき、x² − 12 の値を求めなさい。
- (√5 + 1)² − (√5 − 1)² を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：x² − 12 = (2√3)² − 12 = 12 − 12 = 0
- 解答：(6+2√5) − (6−2√5) = 4√5