実数⑤ 整数部分と小数部分
実数を整数部分と小数部分に分けると、無理数を含む式の計算が見通しよくなります。
整数部分・小数部分の定義
x を超えない最大の整数を 整数部分、x − 整数部分を 小数部分 といい、小数部分は 0 以上 1 未満です。
- x = 3.7 → 整数部分 3、小数部分 0.7
- x = √2 → 整数部分 1、小数部分 √2 − 1
無理数の整数部分
√n の整数部分は、n をはさむ平方数で決まります。
√10 → 9 < 10 < 16 → 3 < √10 < 4 → 整数部分 3
📘 例題①
√7 の整数部分 a と小数部分 b を求めなさい。
解答：4 < 7 < 9 → 2 < √7 < 3。 a = 2、b = √7 − 2
√7 の整数部分 a と小数部分 b を求めなさい。
解答：4 < 7 < 9 → 2 < √7 < 3。 a = 2、b = √7 − 2
📘 例題②
√5 の整数部分を a、小数部分を b とするとき b² + 4b を求めなさい。
解答：a = 2、b = √5 − 2。 b² = 9 − 4√5、4b = 4√5 − 8。 b² + 4b = 1
√5 の整数部分を a、小数部分を b とするとき b² + 4b を求めなさい。
解答：a = 2、b = √5 − 2。 b² = 9 − 4√5、4b = 4√5 − 8。 b² + 4b = 1
💡 ポイント
- 整数部分 = x を超えない最大の整数
- 小数部分 = x − 整数部分（0 ≦ 小数部分 < 1）
- √n の整数部分は n をはさむ平方数で求める
練習問題
- √11 の整数部分と小数部分を求めなさい。
- √3 の整数部分を a、小数部分を b とするとき b² + 2b を求めなさい。
- 3 + √8 の整数部分と小数部分を求めなさい。
解答・解説
- 解答：整数部分 3、小数部分 √11 − 3
解説：9 < 11 < 16。 - 解答：2
解説：a=1、b=√3−1。b²+2b = (4 − 2√3) + (2√3 − 2) = 2。 - 解答：整数部分 5、小数部分 2√2 − 2
解説：√8 = 2√2 ≈ 2.83、3+√8 ≈ 5.83。小数部分 = √8 − 2 = 2√2 − 2。