展開④ 工夫した展開（おきかえ）
共通部分を1つの文字でおきかえると、複雑な式も公式が使えます。
共通部分のおきかえ
a + b = X とおいて (X + c)(X − c) = X² − c² の形に持ち込みます。
📘 例題①
(x + y + 1)(x + y − 1) を展開しなさい。
解答：x + y = X とおくと (X+1)(X−1) = X² − 1 = (x+y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1
(x + y + 1)(x + y − 1) を展開しなさい。
解答：x + y = X とおくと (X+1)(X−1) = X² − 1 = (x+y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1
順序の工夫
(x+1)(x+2)(x−1)(x−2) は組合せ順を変えて (x²−1)(x²−4) のように変形します。
📘 例題②
(x+1)(x+2)(x−1)(x−2) を展開しなさい。
解答：(x²−1)(x²−4)。X = x² とおいて (X−1)(X−4) = X² − 5X + 4 = x⁴ − 5x² + 4
(x+1)(x+2)(x−1)(x−2) を展開しなさい。
解答：(x²−1)(x²−4)。X = x² とおいて (X−1)(X−4) = X² − 5X + 4 = x⁴ − 5x² + 4
💡 ポイント
- 共通部分をおきかえてシンプル化
- (x+a)(x−a) の形を作ると展開が楽
- 4つの因数は組合せ順を工夫
練習問題
- (a + b + 3)² を展開しなさい。
- (x − y + 2)(x − y − 2) を展開しなさい。
- (x + 2)(x + 4)(x − 2)(x − 4) を展開しなさい。
解答・解説
- 解答：a² + 2ab + b² + 6a + 6b + 9
解説：a+b=X とおいて (X+3)² を展開。 - 解答：x² − 2xy + y² − 4
解説：x−y=X とおいて X² − 4 = (x−y)² − 4。 - 解答：x⁴ − 20x² + 64
解説：(x²−4)(x²−16) = x⁴ − 20x² + 64。