平面ベクトル② 和・差・実数倍
ベクトルどうしのたし算・ひき算と、ベクトルに実数をかける操作を学びます。
ベクトルの和（三角形の法則）
→a の終点に →b の始点をつなぐと、最初の始点から最後の終点へのベクトルが →a + →b。
→AB + →BC = →AC（三角形の法則）
- 交換法則：→a + →b = →b + →a
- 結合法則：(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)
- →a + →0 = →a、→a + (−→a) = →0
ベクトルの差
→a − →b = →a + (−→b)。同じ始点 O から見ると →OA − →OB = →BA。
📘 例題①
→OA = →a、→OB = →b、→OC = →c とする。次を →a, →b, →c で表しなさい。
(1) →AB (2) →AC − →BC
解答：(1) →AB = →OB − →OA = →b − →a
(2) (→c − →a) − (→c − →b) = →b − →a
→OA = →a、→OB = →b、→OC = →c とする。次を →a, →b, →c で表しなさい。
(1) →AB (2) →AC − →BC
解答：(1) →AB = →OB − →OA = →b − →a
(2) (→c − →a) − (→c − →b) = →b − →a
ベクトルの実数倍
k→a は、k＞0 なら →a と同じ向きで大きさ k|→a|、k＜0 なら反対向きで大きさ |k||→a|、k=0 なら →0。
- 結合法則：k(l→a) = (kl)→a
- 分配法則：(k + l)→a = k→a + l→a、k(→a + →b) = k→a + k→b
📘 例題②
2(→a + 3→b) − 3(→a − →b) を計算しなさい。
解答：2→a + 6→b − 3→a + 3→b = −→a + 9→b
2(→a + 3→b) − 3(→a − →b) を計算しなさい。
解答：2→a + 6→b − 3→a + 3→b = −→a + 9→b
ベクトルの平行条件
→a ≠ →0、→b ≠ →0 のとき、→a ∥ →b ⇔ →b = k→a となる実数 k が存在する。
💡 ポイント
- →AB + →BC = →AC（つなぐ）／→OA − →OB = →BA
- k→a の向きは k の符号で決まり、大きさは |k| 倍
- 分配法則・結合法則は数の計算と同じように使える
- 平行条件：→b = k→a となる実数 k がある
練習問題
- 3(2→a − →b) − 2(→a − 3→b) を簡単にしなさい。
- →OA=→a、→OB=→b、→OC=→c のとき、→BA + →AC を →a, →b, →c で表しなさい。
- →a と平行で大きさが 5 のベクトルを →a で表しなさい（2 通り）。
解答・解説
- 解答：4→a + 3→b
解説：6→a − 3→b − 2→a + 6→b = 4→a + 3→b。 - 解答：→c − →b
解説：→BA + →AC = →BC = →c − →b。 - 解答：± 5→a/|→a|
解説：→a 方向の単位ベクトル ×5。逆向きで 2 通り。