位置ベクトル① 定義と性質
ある点 O を基準として、各点 P を表すベクトル →OP を、点 P の 位置ベクトル といいます。基準 O を決めると、点と位置ベクトルが 1 対 1 に対応します。
位置ベクトル
基準点 O、点 P の位置ベクトル →p = →OP。
2 点 A, B の位置ベクトルをそれぞれ →a, →b とすると、
→AB = →b − →a （終点の位置 − 始点の位置）
📘 例題①
点 A の位置ベクトル →a = (2, 3)、B の位置ベクトル →b = (5, −1) のとき、→AB を成分で求めなさい。
解答：→AB = →b − →a = (5−2, −1−3) = (3, −4)
点 A の位置ベクトル →a = (2, 3)、B の位置ベクトル →b = (5, −1) のとき、→AB を成分で求めなさい。
解答：→AB = →b − →a = (5−2, −1−3) = (3, −4)
2 点間の距離
点 A, B の位置ベクトル →a, →b のとき、
AB = |→b − →a|
📘 例題②
A(1, 2)、B(4, 6) のとき AB を求めなさい。
解答：→AB=(3, 4)、|→AB|=√(9+16)=5
A(1, 2)、B(4, 6) のとき AB を求めなさい。
解答：→AB=(3, 4)、|→AB|=√(9+16)=5
💡 ポイント
- 位置ベクトル：基準点 O からそれぞれの点へのベクトル
- →AB = →b − →a（終点 − 始点）
- AB = |→b − →a|（距離）
練習問題
- A(−1, 4)、B(3, 1) のとき →AB の成分と大きさを求めなさい。
- 3 点 O(0,0)、A(2, 3)、B(5, 7) について →OA, →OB, →AB を成分で求めなさい。
- A の位置ベクトル →a、B の位置ベクトル →b のとき、→a − →b は何を表しますか。
解答・解説
- 解答：→AB=(4, −3)、大きさ 5
解説：(3−(−1), 1−4)=(4, −3)、√(16+9)=5。 - 解答：→OA=(2,3)、→OB=(5,7)、→AB=(3,4)
解説：→AB=→OB−→OA。 - 解答：→BA
解説：→a−→b=→OA−→OB=→BA。B から A へのベクトル。