数列の極限① 収束と発散
数学IIIの最初のテーマは極限です。まずは数列{a_n}が n を限りなく大きくしたときにどんな値に近づくかを調べます。これが数列の極限です。
収束と発散
n→∞ のときに数列 a_n がある値 α に限りなく近づくとき、a_n は α に収束するといい、
lim_{n→∞} a_n = α と書きます。α を極限値といいます。
収束しないとき、数列は発散するといいます。発散には次の3パターンがあります。
- 正の無限大に発散：lim_{n→∞} a_n = ∞
- 負の無限大に発散：lim_{n→∞} a_n = −∞
- 振動：±∞ にもならず、特定の値にも収束しない（例：a_n = (−1)^n）
📘 例題①
次の数列の極限を調べなさい。
(1) a_n = 1/n (2) a_n = n² (3) a_n = (−1)^n
解答：
(1) n が大きくなるほど 1/n は 0 に近づく → lim = 0（収束）
(2) n が大きくなるほど n² は限りなく大きくなる → lim = ∞（正の無限大に発散）
(3) +1, −1 を交互にとり、特定の値に近づかない → 振動（発散）
次の数列の極限を調べなさい。
(1) a_n = 1/n (2) a_n = n² (3) a_n = (−1)^n
解答：
(1) n が大きくなるほど 1/n は 0 に近づく → lim = 0（収束）
(2) n が大きくなるほど n² は限りなく大きくなる → lim = ∞（正の無限大に発散）
(3) +1, −1 を交互にとり、特定の値に近づかない → 振動（発散）
極限の基本公式
lim_{n→∞} a_n = α、lim_{n→∞} b_n = β のとき：
- lim (a_n ± b_n) = α ± β
- lim (k · a_n) = k · α（k は定数）
- lim (a_n · b_n) = α · β
- lim (a_n / b_n) = α / β（ただし β ≠ 0）
これらは α, β が有限値のときに使えます。∞ どうしの差や ∞/∞ などの不定形では、そのまま使えないので変形が必要です。
∞/∞ 型の極限
分母・分子がともに ∞ になる分数の極限は、最高次の項で分母分子を割るのが定石です。
例：lim_{n→∞} (3n² + 2n − 1)/(n² + 5) を考えます。分母分子を n² で割って
= lim_{n→∞} (3 + 2/n − 1/n²)/(1 + 5/n²) = (3 + 0 − 0)/(1 + 0) = 3
📘 例題②
次の極限を求めなさい：lim_{n→∞} (2n² − 3n + 1)/(4n² + n + 5)
解答：分母分子を n² で割る。
= lim (2 − 3/n + 1/n²)/(4 + 1/n + 5/n²) = (2 − 0 + 0)/(4 + 0 + 0) = 1/2
次の極限を求めなさい：lim_{n→∞} (2n² − 3n + 1)/(4n² + n + 5)
解答：分母分子を n² で割る。
= lim (2 − 3/n + 1/n²)/(4 + 1/n + 5/n²) = (2 − 0 + 0)/(4 + 0 + 0) = 1/2
💡 ポイント
- 収束：lim_{n→∞} a_n = α（有限値）／発散：±∞ または振動
- 1/n → 0、1/n² → 0、定数列 c → c
- ∞/∞ 型は分母分子を最高次の n^k で割る
- ∞ − ∞ 型は、有理化や共通因数のくくり出しで変形する
練習問題
- lim_{n→∞} (5n + 3)/(2n − 1) を求めなさい。
- lim_{n→∞} (n² + 1)/(n + 2) を求めなさい。
- lim_{n→∞} (√(n² + n) − n) を求めなさい。
解答・解説
- 解答：5/2
解説：分母分子を n で割る。(5 + 3/n)/(2 − 1/n) → 5/2。 - 解答：∞（正の無限大に発散）
解説：分子の次数（2次）＞分母の次数（1次）なので発散。 - 解答：1/2
解説：有理化。n/(√(n²+n)+n)。分母分子を n で割ると 1/(√(1+1/n)+1) → 1/2。