数列の極限③ 無限級数

数列の極限③ 無限級数

数列の和を無限に足し続けたものを無限級数といいます。表面的には「∞ 個の数を足す」ことに見えますが、正確には部分和の極限として定義します。

無限級数の定義

数列 {a_n} に対し、第 n 項までの和（部分和）を S_n = a_1 + a_2 + … + a_n とおきます。
　無限級数 Σ_{n=1}^∞ a_n = lim_{n→∞} S_n

無限等比級数

初項 a、公比 r の等比数列の無限級数を無限等比級数といいます。

• |r| < 1 のとき：収束して、和は a/(1 − r)
• |r| ≧ 1（かつ a ≠ 0）のとき：発散

収束する級数の必要条件

級数 Σ a_n が収束するならば、lim_{n→∞} a_n = 0。逆は成り立たず、調和級数 Σ 1/n は発散します。

部分分数分解を使う級数

1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) と分解すると、途中項が打ち消し合います（telescoping）。
S_N = 1 − 1/(N+1) → 1（N→∞）

練習問題

1. 無限等比級数 2 + 4/3 + 8/9 + … の和を求めなさい。
2. 無限等比級数 a/(1−r) が和 6、公比 r=1/3 のとき、a を求めなさい。
3. Σ_{n=1}^∞ 1/((2n−1)(2n+1)) を求めなさい。