数列の極限⑤ 極限の応用と総合
循環小数、図形への応用、不定形の処理など、典型的な応用問題を扱います。
循環小数を分数で表す
0.272727… = 0.27 + 0.0027 + … = 0.27/(1−0.01) = 27/99 = 3/11
📘 例題①
循環小数 0.4 (4が無限) を分数で表しなさい。
解答：0.4/(1−0.1) = 0.4/0.9 = 4/9
循環小数 0.4 (4が無限) を分数で表しなさい。
解答：0.4/(1−0.1) = 0.4/0.9 = 4/9
図形と無限等比級数
正方形 S_1（1辺1）の各辺の中点を結んで S_2 を作る、と続けると面積比は 1/2。
面積の和 = 1/(1−1/2) = 2
📘 例題②
1辺1の正三角形 T_1 から、各辺の中点を結んで T_2 を作る…続けたときの面積の和を求めなさい。
解答：T_1 の面積 √3/4、面積比 1/4。和 = (√3/4)/(1−1/4) = (√3/4)·(4/3) = √3/3
1辺1の正三角形 T_1 から、各辺の中点を結んで T_2 を作る…続けたときの面積の和を求めなさい。
解答：T_1 の面積 √3/4、面積比 1/4。和 = (√3/4)/(1−1/4) = (√3/4)·(4/3) = √3/3
∞ − ∞ 型の総合
有理化が定石。
lim_{n→∞} (√(n+1) − √n) = lim 1/(√(n+1)+√n) = 0
💡 ポイント
- 循環小数 → 無限等比級数で分数化
- 図形の総和は各段が等比数列をなすことが多い
- ∞ − ∞ は有理化やくくり出しで解消
- はさみうちで上から絶対値を押さえる
練習問題
- 循環小数 0.123123… を分数で表しなさい。
- lim_{n→∞} (√(n²+3n) − n) を求めなさい。
- 初項 1、公比 r の無限等比級数が収束し、和が 4 になるとき、r を求めなさい。
解答・解説
- 解答：41/333
解説：0.123/(1−0.001) = 123/999 = 41/333。 - 解答：3/2
解説：有理化。3n/(√(n²+3n)+n)。分母分子を n で割り 3/(√(1+3/n)+1) → 3/2。 - 解答：r = 3/4
解説：1/(1−r) = 4 → 1−r = 1/4 → r = 3/4。|r|<1 を満たす。