関数の極限② 片側極限と無限大での極限
x が a に近づくとき、大きい側／小さい側でそれぞれ右側極限・左側極限といいます。
片側極限
- 右側極限：lim_{x→a+0} f(x)
- 左側極限：lim_{x→a−0} f(x)
極限が存在する ⇔ 右側と左側が等しい。
📘 例題①
f(x) = |x|/x で lim_{x→0} を調べなさい。
解答：x>0 で 1、x<0 で −1。右側=1、左側=−1。等しくないので存在しない。
f(x) = |x|/x で lim_{x→0} を調べなさい。
解答：x>0 で 1、x<0 で −1。右側=1、左側=−1。等しくないので存在しない。
無限大での極限
x → ∞、x → −∞ も同様。lim_{x→∞} (3x²+1)/(x²+x) = 3
x → a での発散
lim_{x→0+} 1/x = ∞、lim_{x→0−} 1/x = −∞
📘 例題②
lim_{x→∞} (√(x²+1) − x)
解答：有理化：1/(√(x²+1)+x) → 0
lim_{x→∞} (√(x²+1) − x)
解答：有理化：1/(√(x²+1)+x) → 0
💡 ポイント
- 左右の極限が等しいときのみ極限が存在
- |x|/x や階段状の関数では左右で異なる
- x → ∞ は数列と同じ要領
- 1/(x−a) は x→a で ±∞ に発散
練習問題
- lim_{x→2+0} 1/(x−2)、lim_{x→2−0} 1/(x−2)
- lim_{x→∞} (2x²−x+1)/(x²+3)
- lim_{x→−∞} (√(x²+1) + x)
解答・解説
- 解答：右側 ∞、左側 −∞
符号で挙動が分かれる。 - 解答：2
x² で割る。 - 解答：0
t=−x>0 とおいて有理化。