関数の極限⑤ 総合演習と不定形の処理
関数の極限の総まとめです。
不定形の主な種類
- 0/0：因数分解／有理化／三角・指数公式
- ∞/∞：最高次で割る
- ∞−∞：有理化／くくり出し
- 0·∞：分数化して 0/0 か ∞/∞
- 1^∞：(1+a/x)^x の形に
📘 例題①
lim_{x→0} (sin x − tan x)/x³
解答：sin x − tan x = sin x·(cos x − 1)/cos x。
={sin x/x}·{(cos x−1)/x²}·(1/cos x) → 1·(−1/2)·1 = −1/2
lim_{x→0} (sin x − tan x)/x³
解答：sin x − tan x = sin x·(cos x − 1)/cos x。
={sin x/x}·{(cos x−1)/x²}·(1/cos x) → 1·(−1/2)·1 = −1/2
係数決定
分母→0 で極限が有限 ⇒ 分子も→0。
📘 例題②
lim_{x→2} (x²+ax+b)/(x−2) = 5 となる a, b を求めなさい。
解答：分子→0：4+2a+b=0。分子=(x−2)(x+c)、極限=2+c=5、c=3。
x²+ax+b=(x−2)(x+3)=x²+x−6 より a=1、b=−6
lim_{x→2} (x²+ax+b)/(x−2) = 5 となる a, b を求めなさい。
解答：分子→0：4+2a+b=0。分子=(x−2)(x+c)、極限=2+c=5、c=3。
x²+ax+b=(x−2)(x+3)=x²+x−6 より a=1、b=−6
はさみうち
lim_{x→0} x²·sin(1/x) は、0 ≦ |x²·sin(1/x)| ≦ x² → 0 なので 0。
💡 ポイント
- 不定形の型を見分ける
- 係数決定：分母→0 で有限極限 ⇒ 分子も→0
- はさみうちは絶対値が有界なときに有効
- 定数倍を外に、公式の形を作る
練習問題
- lim_{x→0} (√(1+x)−1)/x
- lim_{x→1} (x²+ax−a−1)/(x−1)
- lim_{x→0} x·sin(1/x) をはさみうちで
解答・解説
- 解答：1/2
有理化。1/(√(1+x)+1) → 1/2。 - 解答：2+a
(x−1)(x+1+a)/(x−1) → 1+1+a = 2+a。 - 解答：0
|x·sin(1/x)| ≦ |x| → 0。