微分法⑤ 公式総合演習
これまでの公式（基本・積・商）を組み合わせて使う問題を解きます。
📘 例題① y = (2x+1)/√x の y' を求めよ。
解答：y = (2x+1)·x^{−1/2} = 2x^{1/2} + x^{−1/2}
y' = x^{−1/2} − (1/2)x^{−3/2} = 1/√x − 1/(2x√x)
解答：y = (2x+1)·x^{−1/2} = 2x^{1/2} + x^{−1/2}
y' = x^{−1/2} − (1/2)x^{−3/2} = 1/√x − 1/(2x√x)
📘 例題② y = x²(x−1)³ の y' を求めよ（積と公式の組み合わせ）。
解答：(x²)'·(x−1)³ + x²·{(x−1)³}'
= 2x(x−1)³ + x²·3(x−1)²·1 = (x−1)²·{2x(x−1) + 3x²} = (x−1)²(5x²−2x) = x(x−1)²(5x−2)
解答：(x²)'·(x−1)³ + x²·{(x−1)³}'
= 2x(x−1)³ + x²·3(x−1)²·1 = (x−1)²·{2x(x−1) + 3x²} = (x−1)²(5x²−2x) = x(x−1)²(5x−2)
💡 ポイント
- 形を見たら：分数→指数表記、合成→次で扱う「合成関数の微分」
- 共通因数でくくり、計算を整理
練習問題
- y = (x²+1)/(x+1) の y'
- y = x³(2x−1) の y'
解答・解説
- 解答：(x²+2x−1)/(x+1)²
(2x(x+1)−(x²+1))/(x+1)² = (x²+2x−1)/(x+1)²。 - 解答：8x³ − 3x²
展開して 2x⁴−x³ を微分。