関数の増減と増減表
f'(x) の符号から f(x) の増減がわかります。
- f'(x) > 0 となる区間で f(x) は増加
- f'(x) < 0 となる区間で f(x) は減少
📘 例題① f(x) = x³ − 3x の増減を調べよ。
解答：f'(x) = 3x²−3 = 3(x−1)(x+1)。
増減表：x<−1 で f'>0（増加）、−11 で f'>0（増加）。
よって x=−1 で極大値 2、x=1 で極小値 −2。
解答：f'(x) = 3x²−3 = 3(x−1)(x+1)。
増減表：x<−1 で f'>0（増加）、−1
よって x=−1 で極大値 2、x=1 で極小値 −2。
💡 ポイント
- f'(x) = 0 を解く → 候補点
- 増減表で符号変化を確認 → 極大・極小を判定
練習問題
- f(x) = x³ − 6x² + 9x の極値を求めよ。
解答・解説
- 解答：x=1 で極大値 4、x=3 で極小値 0
f'=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)。