増減・極値の応用問題
パラメータを含む関数の極値問題、不等式の証明など。
📘 例題① f(x) = x³ − 3ax + 1 が極値をもつ a の範囲。
解答：f'(x) = 3x²−3a = 3(x²−a)。
極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる2解 ⇔ a > 0
解答：f'(x) = 3x²−3a = 3(x²−a)。
極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる2解 ⇔ a > 0
📘 例題② x > 0 で log x ≦ x − 1 を示せ。
解答：f(x) = x − 1 − log x とおく。f'(x) = 1 − 1/x。
x = 1 で最小値 0。よって f(x) ≧ 0、すなわち log x ≦ x − 1。
解答：f(x) = x − 1 − log x とおく。f'(x) = 1 − 1/x。
x = 1 で最小値 0。よって f(x) ≧ 0、すなわち log x ≦ x − 1。
💡 ポイント
- 不等式 f(x) ≧ 0 の証明：左辺を関数とみて最小値が 0 以上であることを示す
練習問題
- x > 0 で e^x > 1 + x を示せ。
解答・解説
- 解答：f(x)=e^x−1−x、f'=e^x−1>0（x>0）、f(0)=0 なので f(x)>0。