回転体の体積（x軸まわり）
曲線 y = f(x) と x軸、x = a、x = b で囲まれた図形を x軸まわりに1回転させた立体の体積は
V = π·∫_a^b {f(x)}² dx
📘 例題① y = √x と x軸、x=0、x=4 で囲まれた図形を x軸まわりに回転させてできる立体の体積。
解答：V = π∫_0^4 (√x)² dx = π∫_0^4 x dx = π·[x²/2]_0^4 = 8π
解答：V = π∫_0^4 (√x)² dx = π∫_0^4 x dx = π·[x²/2]_0^4 = 8π
📘 例題②（球） 半径 r の球の体積。
解答：y = √(r²−x²) を x軸まわりに回転。
V = π∫_{−r}^{r} (r²−x²) dx = π[r²x − x³/3]_{−r}^{r} = (4/3)πr³
解答：y = √(r²−x²) を x軸まわりに回転。
V = π∫_{−r}^{r} (r²−x²) dx = π[r²x − x³/3]_{−r}^{r} = (4/3)πr³
💡 ポイント
- x軸まわり：V = π∫ y² dx
- y軸まわり：V = π∫ x² dy（y で積分）
練習問題
- y = x²、x軸、x=0、x=1 を x軸まわりに回転した体積。
解答・解説
- 解答：π/5
π∫_0^1 x⁴ dx = π/5。