曲線の長さ
曲線 y = f(x) の x = a から x = b までの長さ L は
L = ∫_a^b √(1 + {f'(x)}²) dx
媒介変数表示 x = x(t)、y = y(t) のとき
L = ∫_α^β √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt
📘 例題① y = x^{3/2} の x=0 から x=4 までの長さ。
解答：y' = (3/2)x^{1/2}、1 + (y')² = 1 + (9/4)x。
L = ∫_0^4 √(1+9x/4) dx。u=1+9x/4、du=(9/4)dx → dx=4du/9。区間 1→10。
L = (4/9)·[2u^{3/2}/3]_1^{10} = (8/27)(10√10 − 1)
解答：y' = (3/2)x^{1/2}、1 + (y')² = 1 + (9/4)x。
L = ∫_0^4 √(1+9x/4) dx。u=1+9x/4、du=(9/4)dx → dx=4du/9。区間 1→10。
L = (4/9)·[2u^{3/2}/3]_1^{10} = (8/27)(10√10 − 1)
💡 ポイント
- √(1+(y')²) の積分は置換が中心
- 媒介変数の場合は両方の微分の二乗和の√
練習問題
- 円 x=r cos t、y=r sin t（0≦t≦2π）の長さ。
解答・解説
- 解答：2πr
√((−r sin t)²+(r cos t)²) = r。L=∫_0^{2π} r dt=2πr。