組合せ③ 重複組合せ
n種類から重複を許してr個選ぶ方法：nHr = (n+r−1)Cr
📘 例題①
3種類の果物から5個選ぶ（重複可）：3H5 = 7C5 = 7C2 = 21通り
3種類の果物から5個選ぶ（重複可）：3H5 = 7C5 = 7C2 = 21通り
📘 例題②（方程式の整数解）
x+y+z=7 の非負整数解：3H7 = 9C7 = 36個
x+y+z=7 の非負整数解：3H7 = 9C7 = 36個
💡 ポイント
- 重複組合せ → 仕切り（○と|）で考える
- 正整数解 → 変数変換して非負整数解に帰着
練習問題
- 4種類のお菓子から3個選ぶ（重複可）方法は何通りか。
- x+y+z=10 の非負整数解の個数を求めよ。
- x+y+z=8（x≥1, y≥2, z≥0）の整数解の個数を求めよ。
解答
- 4H3=6C3=20通り
- 3H10=12C2=66個
- x'=x−1, y'=y−2 で x'+y'+z=5 → 3H5=21個