三角形の五心（重心・外心・内心・垂心）
三角形には5つの重要な点があります。それぞれの定義と性質を正確に覚えましょう。
重心 G
3本の中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）の交点。
AG:GM = 2:1（頂点から重心までの距離は、重心から対辺中点までの2倍）
📘 例題①（重心の座標）
A(0,0)、B(6,0)、C(0,6) の重心 G の座標を求めよ。
解答：G = ((0+6+0)/3, (0+0+6)/3) = (2, 2)
A(0,0)、B(6,0)、C(0,6) の重心 G の座標を求めよ。
解答：G = ((0+6+0)/3, (0+0+6)/3) = (2, 2)
外心 O
3辺の垂直二等分線の交点 → 外接円の中心（OA=OB=OC=外接円半径 R）
鋭角三角形：内部、直角三角形：斜辺の中点、鈍角三角形：外部
内心 I
3つの内角の二等分線の交点 → 内接円の中心（内接円半径 r）
r = S/s（S:三角形の面積、s:半周長=(a+b+c)/2）
📘 例題②（内接円の半径）
3辺が 3, 4, 5 の直角三角形の内接円の半径 r を求めよ。
面積 S = (1/2)×3×4 = 6、半周長 s = (3+4+5)/2 = 6
解答：r = S/s = 6/6 = 1
3辺が 3, 4, 5 の直角三角形の内接円の半径 r を求めよ。
面積 S = (1/2)×3×4 = 6、半周長 s = (3+4+5)/2 = 6
解答：r = S/s = 6/6 = 1
垂心 H
3頂点から対辺への垂線（高さ）の交点。
鋭角三角形：内部、直角三角形：直角の頂点、鈍角三角形：外部
💡 ポイント
- 重心：中線の交点、AG:GM=2:1
- 外心：垂直二等分線の交点、外接円の中心
- 内心：内角の二等分線の交点、r=S/s
- 垂心：高さの交点
- 正三角形では4点すべて一致する
練習問題
- A(2,0)、B(8,0)、C(4,6) の重心Gの座標を求めよ。
- 3辺が 5, 12, 13 の直角三角形の内接円の半径 r を求めよ。
- 鋭角三角形の外心と垂心はどちらが三角形の内部にあるか答えよ。
解答・解説
- G = ((2+8+4)/3, (0+0+6)/3) = (14/3, 2)
- S=(1/2)×5×12=30、s=(5+12+13)/2=15 → r=30/15=2
- 鋭角三角形では外心・垂心ともに内部にある。