素因数分解と約数の個数・総和
整数の性質を調べる基本ツールが素因数分解です。
素因数分解
自然数を素数の積で表すこと。例：360 = 2³ × 3² × 5
約数の個数
n = pa × qb × rc × … のとき
約数の個数 = (a+1)(b+1)(c+1)…
📘 例題①（約数の個数）
360 = 2³ × 3² × 5¹ の約数の個数を求めよ。
解答：(3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24個
360 = 2³ × 3² × 5¹ の約数の個数を求めよ。
解答：(3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24個
約数の総和
n = pa × qb のとき
約数の総和 = (1+p+p²+…+pa)(1+q+q²+…+qb)
📘 例題②（約数の総和）
12 = 2² × 3 の約数の総和を求めよ。
(1+2+4)(1+3) = 7×4 = 28
12 = 2² × 3 の約数の総和を求めよ。
(1+2+4)(1+3) = 7×4 = 28
💡 ポイント
- 約数の個数が奇数個 ⟺ n は完全平方数（例：1,4,9,16,…）
- 素因数分解は割り算を繰り返す（小さい素数から順に試す）
- 約数の総和は各素因数の等比数列の和の積
練習問題
- 180 を素因数分解し、約数の個数を求めよ。
- 約数の個数がちょうど6個になる最小の自然数を求めよ。
- 72 の約数の総和を求めよ。
解答・解説
- 180 = 2²×3²×5。約数の個数 = (2+1)(2+1)(1+1) = 18個
- 約数6個 → (5+1)=6 なら p⁵（最小:2⁵=32）、または (2+1)(1+1)=6 なら p²×q（最小:2²×3=12）→ 12
- 72=2³×3²。(1+2+4+8)(1+3+9)=15×13=195