整数の性質①まとめ
💡 整数の性質①まとめ
- 素因数分解：n=paqb… → 約数の個数=(a+1)(b+1)…
- 約数の総和：(1+p+…+pa)(1+q+…+qb)…
- GCD×LCM=a×b
- ユークリッドの互除法：GCD(a,b)=GCD(b,a mod b)
- 不定方程式：互除法で特殊解→一般解は等差で並ぶ
総合練習問題
- 504 の約数の個数と総和を求めよ。
- GCD(a,b)=8、LCM(a,b)=240 のとき、a×b の値と、考えられる (a,b) の組（a≤b）を求めよ。
- 11x + 8y = 5 の整数解の一般解を求め、x が最小の正の整数になるときの y を求めよ。
解答・解説
- 504=2³×3²×7。個数=(3+1)(2+1)(1+1)=24個。総和=(1+2+4+8)(1+3+9)(1+7)=15×13×8=1560
- a×b=8×240=1920。a=8m, b=8n（m
- 11×3+8×(−4)=1 → 11×15+8×(−20)=5 → 特殊解(15,−20)。一般解：x=15+8t, y=−20−11t。x>0 最小 → t=−1 で x=7, t=−2 で x=−1(NG) → x最小正整数はx=7のときy=−20−11×(−1)=−9