整数の性質②まとめ
💡 整数の性質②まとめ
- 合同式：a≡b(mod m) ⟺ m|(a−b)
- 合同式の演算：加減乗・べき乗が可能
- 周期性：べき乗の余りは周期的
- n進法変換：n進→10進（展開）、10進→n進（割り算の余り）
- 整数問題：積の形・偶奇・modで絞り込む
総合練習問題
- 250 を 7 で割った余りを求めよ。
- (123)n = 38 となる n を求めよ（n は自然数）。
- xy + x − y = 7 を満たす整数解をすべて求めよ。
解答・解説
- 2³=8≡1(mod 7)。50=3×16+2 → 250=(2³)16×2²≡116×4=4(mod 7) → 余り4
- n²+2n+3=38 → n²+2n−35=0 → (n+7)(n−5)=0 → n=5（n>0）。確認：(123)5=1×25+2×5+3=38 ✓
- (x+1)(y−1)=6（両辺に+1して整理：xy+x−y+1=8→(x+1)(y−1)=8→失敗。xy+x−y−1=6→x(y+1)−(y+1)=6→(x−1)(y+1)=8）。
組：(x−1,y+1)=(1,8),(2,4),(4,2),(8,1),(−1,−8),(−2,−4),(−4,−2),(−8,−1)
(x,y)=(2,7),(3,3),(5,1),(9,0),(0,−9),(−1,−5),(−3,−3),(−7,−2)