背理法による無理数の証明
「√2 が無理数」などの証明に背理法が有効です。
背理法の手順
①結論の否定を仮定する
②論理的に推論して矛盾を導く
③矛盾したので仮定が誤り → 結論が正しい
📘 例題①（√2 が無理数）
√2 が有理数と仮定する。√2 = p/q（p,q は互いに素な正整数）とおく。
2q² = p² → p² は偶数 → p は偶数（p=2m）
2q² = 4m² → q² = 2m² → q² は偶数 → q は偶数
p,q ともに偶数 → GCD(p,q)≥2 → 互いに素に矛盾 → √2 は無理数 ■
√2 が有理数と仮定する。√2 = p/q（p,q は互いに素な正整数）とおく。
2q² = p² → p² は偶数 → p は偶数（p=2m）
2q² = 4m² → q² = 2m² → q² は偶数 → q は偶数
p,q ともに偶数 → GCD(p,q)≥2 → 互いに素に矛盾 → √2 は無理数 ■
📘 例題②（√3 が無理数）
√3 = p/q（既約分数）と仮定。3q² = p² → p² ≡ 0(mod 3) → p ≡ 0(mod 3)（p=3m）
3q² = 9m² → q² = 3m² → q ≡ 0(mod 3) → p,q に公因数3 → 矛盾 ■
√3 = p/q（既約分数）と仮定。3q² = p² → p² ≡ 0(mod 3) → p ≡ 0(mod 3)（p=3m）
3q² = 9m² → q² = 3m² → q ≡ 0(mod 3) → p,q に公因数3 → 矛盾 ■
💡 ポイント
- √p（p は素数）はすべて無理数
- 証明の鍵：「p² が p の倍数 → p が p の倍数」
- 背理法 → 仮定・推論・矛盾の流れを明確に書く
練習問題
- √5 が無理数であることを背理法で示せ。
- √2 + √3 が無理数であることを示せ（√6 が無理数であることを使ってよい）。
- log₂3 が無理数であることを示せ。
解答・解説
- √5=p/q（既約）と仮定。5q²=p² → p=5m → 5q²=25m² → q²=5m² → q=5の倍数 → 矛盾 ■
- √2+√3=r（有理数）と仮定。√3=r−√2 → 3=(r−√2)²=r²−2r√2+2 → √2=(r²−1)/(2r)（有理数）→ √2 が有理数に矛盾 ■
- log₂3=p/q（既約正有理数）と仮定。3=2^(p/q) → 3^q=2^p。左辺は奇数、右辺は偶数 → 矛盾 ■