整数の性質③まとめ
💡 整数の性質③まとめ
- 素数：√n 以下の素数で試し割り。p|ab → p|a or p|b
- 背理法：結論の否定→矛盾。√p（素数）は無理数
- フェルマーの小定理：ap−1≡1(mod p)（p:素数, p∤a）
- 整数総合：連続整数の積、積への変形、mod による場合分け
総合練習問題
- p, p+2, p+4 がすべて素数となる p を求めよ（p≥2）。
- 21000 を 13 で割った余りを求めよ。
- x² + y = 2024、y² + x = 2024 を同時に満たす実数 (x,y) の整数解を求めよ。
解答・解説
- p=3のとき3,5,7（すべて素数 ✓）。p≥5では p か p+2 か p+4 のいずれかが3の倍数（連続3奇数は必ず3の倍数を含む）→素数にならない。p=3
- 212≡1(mod 13)（フェルマー:p=13,p−1=12）。1000=12×83+4 → 21000≡2⁴=16≡3(mod 13) → 余り3
- 2式を引く：x²−y²−(x−y)=0 → (x−y)(x+y−1)=0。(ⅰ)x=y → x²+x=2024 → 解なし（判別式 1+4×4×2024<0 …実は x²+x−2024=0 → x=(−1±√8097)/2 は無理数）。(ⅱ)x+y=1 → y=1−x → x²+(1−x)=2024 → x²−x−2023=0 → 判別式=1+4×2023=8093（非平方数）→ 整数解なし。整数解なし