運動エネルギーと仕事・エネルギー定理
動いている物体は運動エネルギーを持ちます。外部から仕事をされるとエネルギーが変化します。
基本知識
運動エネルギー (kinetic energy) K:K = ½mv²
m は質量(kg)、v は速さ(m/s)。単位は J。
速さが2倍になるとエネルギーは4倍になります(v²に比例)。
仕事・エネルギー定理:外力がした仕事の合計 = 運動エネルギーの変化W_net = ΔK = ½mv² - ½mv₀²
物体に正の仕事をすると運動エネルギーが増加し、負の仕事をすると運動エネルギーが減少します。
これはニュートンの運動方程式から直接導ける定理です。
📘 重要用語
運動エネルギー K (kinetic energy)（½mv²。運動している物体が持つエネルギー）
仕事・エネルギー定理（合力のした仕事 = 運動エネルギーの変化量）
W_net = ΔK（合計の仕事 = 終わりの K - 始まりの K）
エネルギー (energy)（仕事をする能力。単位: J）
½mv²（質量と速さの2乗の積の半分）
速さ2倍→K4倍（v²に比例するため）
運動エネルギー K (kinetic energy)（½mv²。運動している物体が持つエネルギー）
仕事・エネルギー定理（合力のした仕事 = 運動エネルギーの変化量）
W_net = ΔK（合計の仕事 = 終わりの K - 始まりの K）
エネルギー (energy)（仕事をする能力。単位: J）
½mv²（質量と速さの2乗の積の半分）
速さ2倍→K4倍（v²に比例するため）
深掘り (背景・意義)
仕事・エネルギー定理を使うと、力と距離が分かれば速さが計算できるという強力な方法が得られます。等加速度運動の3式(特に v² = v₀² + 2ax)は、実は仕事・エネルギー定理を変形したものです:
F = ma より W = Fx = max。ΔK = ½mv² - ½mv₀² = m(v²-v₀²)/2 = max。これが一致します。
仕事・エネルギー定理は「力が仕事をする → エネルギーが移動する」という考え方の出発点です。摩擦があるときは摩擦力の負の仕事が熱エネルギーへの変換を表します。
高速道路での事故の被害が速度の2乗に比例するのは、運動エネルギーが v²に比例するためです。速度を2倍にすると衝突で受けるエネルギー(=被害)は4倍になります。
💡 ポイント
- K = ½mv²（速さの2乗に比例）
- 速さ2倍 → K4倍
- 仕事・エネルギー定理: W_net = ΔK
- 正の仕事 → K 増加（加速）
- 負の仕事 → K 減少（減速）
- 複数の力が働く場合は合力の仕事を使う
- 単位: J = kg·(m/s)²
注意点 (混同しやすい)
① K = ½mv² の ½ を忘れない。K = mv² は誤り。② 速さ(スカラー)を使う。速度(ベクトル)の大きさ。③ 仕事・エネルギー定理は合力(すべての力の合計)の仕事を使う。一つの力の仕事だけでは不可。④ 「エネルギーが増えた」=「正の仕事をされた」、「エネルギーが減った」=「負の仕事をされた」。
練習
- 質量 2 kg の物体が 6 m/s で運動している。運動エネルギーを求めなさい。
- 静止していた質量 4 kg の物体に 80 J の仕事をした。最終的な速さを求めなさい。
- 速さ 10 m/s で動く質量 3 kg の物体が摩擦により 24 J の仕事をされた(負の仕事)。最終的な速さを求めなさい。