単振動
バネや振り子の往復運動は単振動（Simple Harmonic Motion）です。位置・速度・加速度の位相関係と周期公式を完全に習得します。
基本知識
単振動の変位: x = A sin(ωt + φ)（A: 振幅、ω: 角振動数、φ: 初期位相）
速度: v = Aω cos(ωt + φ)（最大速度 Aω: 中心で最大）
加速度: a = −Aω² sin(ωt + φ) = −ω²x（端で最大、中心でゼロ）
復元力: F = −mω²x = −kx（変位に比例・中心向き）
バネの振動（バネ定数 k）:
周期: T = 2π√(m/k)、角振動数 ω = √(k/m)
単振り子（長さ L、小振幅）:
周期: T = 2π√(L/g)（質量・振幅に無関係！）
バネ振動周期: T = 2π√(m/k)
単振り子周期: T = 2π√(L/g)
加速度と変位の関係: a = −ω²x
最大速度: v_max = Aω（釣り合い位置で達成）
エネルギー保存: ½mv² + ½kx² = ½kA²（一定）
深掘り（背景・意義）
単振動の最大の特徴は「加速度が変位に比例して逆向き」（a = −ω²x）という点です。これを満たす運動が単振動であり、この条件から周期公式が導かれます。
バネ振動の周期 T = 2π√(m/k) は振幅に無関係です。大きく揺らしても小さく揺らしても周期は変わらない（等時性）。これが振り子時計の原理でもあります（単振り子でも等時性成立）。
位相の関係: 速度は変位より π/2 進んでいる（変位が最大のとき速度ゼロ、変位ゼロのとき速度最大）。加速度は変位と逆位相（π ずれ）です。
エネルギーの観点では、単振動中に運動エネルギーと位置エネルギーが常に入れ替わり、合計は一定（力学的エネルギー保存）。x = 0 で全て運動エネルギー、x = ±A で全て位置エネルギーです。
- a = −ω²x が単振動の定義
- 振幅に無関係な等時性（バネ・振り子とも）
- 速度最大：中心（x = 0）
- 速度ゼロ：端（x = ±A）
- T = 2π√(m/k)、T = 2π√(L/g)
- 力学的エネルギーが保存される
- 速度と変位は位相 π/2 のずれ
注意点（混同しやすい）
① バネ振動の周期は質量と k のみで決まる（g は不要）。② 単振り子の周期はL と gのみ（質量・振幅と無関係）。③ 最大速度 Aω は中心で達成。端では速度がゼロ。④ 復元力の式 F = −kx の負号は「中心向き」を意味する符号であり、大きさは kx。
練習
- バネ定数 k = 200 N/m、質量 m = 0.50 kg のバネ振動の周期を求めよ。
- 長さ L = 1.0 m の単振り子の周期を求めよ（g = 10 m/s²）。
- 振幅 A = 0.10 m、角振動数 ω = 10 rad/s の単振動の最大速度を求めよ。