万有引力の法則
ニュートンが発見した万有引力は宇宙全体を支配する力です。地球の重力と月の軌道を同じ式で説明できることを理解します。
基本知識
万有引力の法則:F = GMm/r²
（G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²: 万有引力定数、M, m: 2物体の質量 [kg]、r: 物体間の距離 [m]）
方向: 2物体を結ぶ直線上、互いに引き合う方向（作用反作用）
地表での重力との関係:mg = GMm/R²（R: 地球の半径）
→ g = GM/R²（g と G・M・R の関係）
高度 h での重力加速度: g_h = GM/(R+h)²
地表との比: g_h/g = R²/(R+h)²
万有引力: F = GMm/r²
万有引力定数: G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
g と G の関係: g = GM_E/R_E²
r の2乗に反比例: 距離が2倍になると力は 1/4
高度 h での重力: g_h = GM/(R+h)²
深掘り（背景・意義）
ニュートンは「リンゴが落ちる力と月を地球に引きつける力が同じ種類の力ではないか」という着想から万有引力を導いたと言われています。月の軌道半径は地球半径の約60倍。月の向心加速度 a_月 = g × (1/60)² ≈ 0.0027 m/s²、これと月の実際の加速度が一致することで確認しました。
万有引力はすべての物体の間に働く宇宙普遍の力です。人と地球、人と太陽、人と銀河の星 etc. 全てに働いていますが、日常では非常に小さいため無視できます。
地球質量の求め方: g = GM/R² → M = gR²/G = 9.8 × (6.4×10⁶)² / (6.67×10⁻¹¹) ≈ 6.0 × 10²⁴ kg。
万有引力は平方逆二乗則（F ∝ 1/r²）に従いますが、これはクーロン力（静電気力）と同形です。両者はそれぞれ場の理論（重力場・電場）で統一的に記述されます。
- F = GMm/r²（距離の2乗に反比例）
- 方向：互いに引き合う方向
- g = GM/R²（地表の g と定数の関係）
- 距離2倍→引力 1/4
- 高度 h での g は R/(R+h) の2乗で減少
- 月の軌道が万有引力で説明できる
- G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
注意点（混同しやすい）
① r は「物体間の距離」。地球と物体なら地球中心からの距離（地表では r = R）。② F ∝ 1/r²（2乗反比例）。距離の単純な逆数ではない。③ g は「重力加速度」（m/s²）、G は「万有引力定数」（N·m²/kg²）。異なる量。④ mg と GMm/r² の単位・式の意味の違いを理解（mg は地表での近似式）。
練習
- 地球の質量 M、半径 R、万有引力定数 G として、地表の重力加速度 g を求めよ。
- 地表から高度 R（地球半径）の位置での重力加速度を地表の g を使って表せ。
- 質量 m の物体が地表から距離 r（地球中心から）にある場合の重力を G, M, m, r で表せ。