第1・第2宇宙速度と脱出速度
地球を周回するか、完全に脱出するかを決める宇宙速度の概念と計算を習得します。
基本知識
第1宇宙速度 v1: 地表すれすれの円軌道を維持する最小速度。v1 = √(gR) = √(GM/R)（g = 9.8 m/s²、R = 6.4×10⁶ m より）
v1 ≈ 7.9 km/s
第2宇宙速度（脱出速度）v2: 地球の重力を完全に振り切って無限遠に到達する最小速度。
エネルギー保存（地表での KE = 無限遠での位置エネルギー差）:
½mv2² − GMm/R = 0（無限遠での KE = 0 とする）
→ v2 = √(2GM/R) = √(2gR) = √2 × v1
v2 ≈ 11.2 km/s
（参考）第3宇宙速度 v₃ ≈ 16.7 km/s: 太陽系を脱出する速度（地球の公転速度も考慮）。
第1宇宙速度: v1 = √(gR) ≈ 7.9 km/s
第2宇宙速度: v2 = √(2gR) = √2 × v1 ≈ 11.2 km/s
脱出速度の導出: 力学的エネルギー保存（地表 → 無限遠）
万有引力ポテンシャル: U = −GMm/r（無限遠を基準 U = 0）
v2 = √2 × v1（数値的関係を覚える）
深掘り（背景・意義）
第2宇宙速度の導出には万有引力ポテンシャルエネルギー U = −GMm/r の概念が必要です。地表での力学的エネルギー = ½mv2² + (−GMm/R)。無限遠では KE と PE がともにゼロ（最低条件）。エネルギー保存より ½mv2² = GMm/R → v2 = √(2GM/R)。
ブラックホールは脱出速度が光速 c を超える天体です: √(2GM/r_s) = c → シュワルツシルト半径 r_s = 2GM/c²。太陽と同じ質量のブラックホールの r_s ≈ 3 km（現在の太陽半径 70 万 km に比べて極小）。
第2宇宙速度と第1宇宙速度の比が√2 であることは入試頻出。また、別の惑星への脱出速度は g と R をその惑星の値に置き換えれば計算できます。
実際のロケット打ち上げでは空気抵抗・地球自転の利用（赤道方向へ打ち上げ）・多段ロケットなどの工夫が必要で、理論値より多くの燃料が必要です。
- 第1宇宙速度：地表円軌道 v1 = √(gR)
- 第2宇宙速度：脱出速度 v2 = √(2gR)
- v2 = √2 × v1（数値関係）
- 脱出速度の導出：力学的エネルギー保存
- U = −GMm/r（無限遠が基準 = 0）
- v ≥ v2 → 地球脱出
- ブラックホール：脱出速度 = 光速
注意点（混同しやすい）
① 第1と第2の混同に注意。第1は周回（衛星）、第2は脱出（v2 の方が大きい）。② ポテンシャルエネルギー U = −GMm/r は負の値。地表では最も負（束縛状態）。③ 脱出速度の導出では「無限遠で KE = 0」を使う（厳密には KE ≥ 0 で等号が脱出最低条件）。④ 数値 7.9 km/s と 11.2 km/s は代表値として記憶しておく。
練習
- 地球の g = 9.8 m/s²、R = 6.4×10⁶ m として、第1・第2宇宙速度を計算せよ。
- 月（g_月 = g/6、R_月 = R/4、R は地球の値）の脱出速度を地球の v2 を使って表せ。
- 力学的エネルギー保存を使って、地球の脱出速度 v2 = √(2GM/R) を導け。