万有引力ポテンシャルと力学的エネルギー
万有引力の位置エネルギー（ポテンシャル）の概念を使うと、宇宙スケールの運動をエネルギーで統一的に扱えます。
基本知識
万有引力ポテンシャルエネルギー（無限遠を基準 U = 0）:U = −GMm/r（負の値、r が小さいほど小さい＝深い束縛）
力学的エネルギー保存: E = ½mv² − GMm/r = 一定（空気抵抗なし）
力学的エネルギーの符号と軌道の関係:
・E < 0: 束縛された軌道（円・楕円）→ 脱出できない
・E = 0: 放物軌道（脱出速度ちょうど）→ 無限遠で v = 0
・E > 0: 双曲線軌道（脱出後も速度あり）
円軌道でのエネルギー:
重力 = 向心力 より v² = GM/r
→ E = −GMm/(2r)（円軌道では E = U/2 = −KE）
ポテンシャル: U = −GMm/r（負の値）
力学的エネルギー: E = ½mv² − GMm/r = const
E < 0: 楕円軌道（束縛）
E = 0: 放物軌道（脱出ちょうど）
円軌道での E: E = −GMm/(2r)（KE と U の関係: KE = −E）
深掘り（背景・意義）
円軌道では E = −GMm/(2r) という興味深い結果があります。r が大きい（高い軌道）ほど E が大きく（負の絶対値が小さい）、実はエネルギーが高い状態です。衛星を高い軌道に上げるには仕事をする（エネルギーを与える）必要があり、これは直感と一致します。
ただし、軌道が上がると速度は遅くなります（v = √(GM/r) で r 増加 → v 減少）。KE は小さくなるが PE が大きく増加（負から大きい方向へ）する結果、合計 E は増加します。
力学的エネルギーの符号による軌道の分類は、天文学で実際の天体の運命（周回するか離脱するか）を判断するのに使われます。例えば彗星の軌道が E < 0 なら太陽に束縛された楕円軌道（周期的に戻ってくる）、E > 0 なら一度きりの訪問です。
ビリアル定理: 重力系では「時間平均の KE = −E、時間平均の U = 2E」が成り立ちます（円軌道では瞬間値も同じ）。
- U = −GMm/r（無限遠が基準、常に負）
- E = KE + U = 定数（エネルギー保存）
- E < 0 → 楕円・円（束縛）
- E = 0 → 放物軌道（脱出ギリギリ）
- E > 0 → 双曲線（脱出後も速度あり）
- 円軌道: E = −GMm/(2r) = U/2
- 高い軌道 = 力学的エネルギーが高い（遅くても）
注意点（混同しやすい）
① U = −GMm/r は負の値。「位置エネルギーが高い」は U がゼロに近い（= r が大きい）。② 速度が遅い（KE 小）高軌道でも E が大きいのは PE（負だが絶対値が小さい）の効果。③ 「エネルギー保存」は力学的エネルギー保存（空気抵抗なし）。摩擦がある場合は成立しない。④ 円軌道の E = −KE = U/2 という関係は円軌道特有（楕円では時間平均値として成立）。
練習
- 地表（r = R）から打ち出した物体が無限遠（r → ∞）に達するための最低初速度を求めよ（これが第2宇宙速度）。
- 軌道半径 r の円軌道上の衛星の力学的エネルギーを G, M, m, r で表せ。
- 力学的エネルギー E の符号が正・負・ゼロのとき、それぞれの軌道の種類を答えよ。