三角関数の合成
a sinθ + b cosθ を1つの三角関数 r sin(θ+φ) にまとめます。最大・最小値や方程式に必須です。
合成公式
a sinθ + b cosθ = r sin(θ + φ)
ただし r = √(a²+b²)、cos φ = a/r、sin φ = b/r
📘 例題①
sinθ + √3 cosθ を合成しなさい。
解答：r = √(1+3) = 2。cos φ = 1/2、sin φ = √3/2 → φ = π/3。
sinθ + √3 cosθ = 2sin(θ + π/3)
sinθ + √3 cosθ を合成しなさい。
解答：r = √(1+3) = 2。cos φ = 1/2、sin φ = √3/2 → φ = π/3。
sinθ + √3 cosθ = 2sin(θ + π/3)
📘 例題②
√3 sinθ − cosθ を合成し最大値・最小値を求めなさい。
解答：r = 2。cos φ = √3/2、sin φ = −1/2 → φ = −π/6。
√3 sinθ − cosθ = 2sin(θ − π/6)。最大値 2、最小値 −2
√3 sinθ − cosθ を合成し最大値・最小値を求めなさい。
解答：r = 2。cos φ = √3/2、sin φ = −1/2 → φ = −π/6。
√3 sinθ − cosθ = 2sin(θ − π/6)。最大値 2、最小値 −2
💡 ポイント
- r = √(a²+b²) は常に正
- φ は cos φ = a/r かつ sin φ = b/r の両方で象限確定
- 合成後の最大は r、最小は −r
練習問題
- sinθ − cosθ を合成し、最大値・最小値を求めなさい。
- 2sinθ + 2√3 cosθ の最大値を求めなさい。
- sinθ + cosθ ≥ 1（0 ≤ θ ≤ 2π）を解きなさい。
解答・解説
- 解答：√2 sin(θ−π/4)。最大値 √2、最小値 −√2
解説：r = √2、φ = −π/4（cos φ = 1/√2、sin φ = −1/√2）。 - 解答：4
解説：r = √(4+12) = 4。 - 解答：0 ≤ θ ≤ π/2
解説：√2 sin(θ+π/4) ≥ 1 → sin(θ+π/4) ≥ 1/√2。θ+π/4 ∈ [π/4, 9π/4]で sin ≥ √2/2 の範囲は [π/4, 3π/4]。よって θ ∈ [0, π/2]。