回転体の体積
曲線 y = f(x) を x 軸のまわりに回転させた立体の体積を積分で求めます。
回転体の体積公式
x 軸まわりの回転体：V = π ∫ₐᵇ {f(x)}² dx
y 軸まわりの回転体：V = π ∫_c^d {g(y)}² dy（x = g(y) として）
📘 例題①
y = x²（0 ≤ x ≤ 2）を x 軸のまわりに回転させた回転体の体積を求めなさい。
解答：V = π ∫₀² (x²)² dx = π ∫₀² x⁴ dx = π [x⁵/5]₀² = π × 32/5 = 32π/5
y = x²（0 ≤ x ≤ 2）を x 軸のまわりに回転させた回転体の体積を求めなさい。
解答：V = π ∫₀² (x²)² dx = π ∫₀² x⁴ dx = π [x⁵/5]₀² = π × 32/5 = 32π/5
📘 例題②
y = √x（0 ≤ x ≤ 4）を x 軸まわりに回転した体積を求めなさい。
解答：V = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π × 8 = 8π
y = √x（0 ≤ x ≤ 4）を x 軸まわりに回転した体積を求めなさい。
解答：V = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π × 8 = 8π
📘 例題③（ワッシャー法）
y = x と y = x² を x 軸まわりに回転した回転体の体積（挟まれた部分）を求めなさい。
解答：交点 x = 0, 1。[0, 1] で x ≥ x²。
V = π ∫₀¹ (x² − x⁴) dx = π [x³/3 − x⁵/5]₀¹ = π(1/3 − 1/5) = 2π/15
y = x と y = x² を x 軸まわりに回転した回転体の体積（挟まれた部分）を求めなさい。
解答：交点 x = 0, 1。[0, 1] で x ≥ x²。
V = π ∫₀¹ (x² − x⁴) dx = π [x³/3 − x⁵/5]₀¹ = π(1/3 − 1/5) = 2π/15
💡 ポイント
- x 軸まわり：V = π∫{f(x)}²dx（断面が円）
- 2曲線の回転：V = π∫({f}²−{g}²)dx（大きい断面 − 小さい断面）
- π を忘れずに
練習問題
- y = 2x（0 ≤ x ≤ 3）を x 軸まわりに回転した体積を求めなさい。
- y = x+1（0 ≤ x ≤ 2）を x 軸まわりに回転した体積を求めなさい。
- y = x² と y = x のグラフで囲まれた部分を x 軸まわりに回転した体積を求めなさい。
解答・解説
- 解答：36π
解説：V=π∫₀³4x²dx=π[4x³/3]₀³=π×36=36π。 - 解答：26π/3
解説：V=π∫₀²(x+1)²dx=π[(x+1)³/3]₀²=π(3³−1³)/3=π×26/3=26π/3。 - 解答：2π/15
解説：[0,1]でx≥x²。V=π∫₀¹(x²−x⁴)dx=π[x³/3−x⁵/5]₀¹=π(1/3−1/5)=2π/15。