おつりが出ない払い方
「ちょうど払う」「おつりが出ないようにする」というのは、日常生活でもよくある場面です。芋づる算の代表的な使いどころで、「使える硬貨の枚数」にもルールがつきます。
くらしの中の芋づる算
さいふの中の硬貨の種類と枚数が決まっているとき、ちょうど払う方法を考えてみましょう。
例題
さいふの中に100円玉が3枚、50円玉が4枚、10円玉が5枚あります。この中からちょうど350円を払う方法は、何通りあるでしょうか。
解き方：100a＋50b＋10c＝350（a≦3、b≦4、c≦5）
大きい硬貨から順に場合分けしていきます。
a＝3（300円）：50b＋10c＝50 → b＝0, c＝5 ✓ / b＝1, c＝0 ✓
a＝2（200円）：50b＋10c＝150 → b＝2, c＝5 ✓ / b＝3, c＝0 ✓
a＝1（100円）：50b＋10c＝250 → b＝4, c＝5 ✓
a＝0：50b＋10c＝350 → bが4枚しかないので作れない
答え：（3, 0, 5）（3, 1, 0）（2, 2, 5）（2, 3, 0）（1, 4, 5）の 5通り
さいふの中に100円玉が3枚、50円玉が4枚、10円玉が5枚あります。この中からちょうど350円を払う方法は、何通りあるでしょうか。
解き方：100a＋50b＋10c＝350（a≦3、b≦4、c≦5）
大きい硬貨から順に場合分けしていきます。
a＝3（300円）：50b＋10c＝50 → b＝0, c＝5 ✓ / b＝1, c＝0 ✓
a＝2（200円）：50b＋10c＝150 → b＝2, c＝5 ✓ / b＝3, c＝0 ✓
a＝1（100円）：50b＋10c＝250 → b＝4, c＝5 ✓
a＝0：50b＋10c＝350 → bが4枚しかないので作れない
答え：（3, 0, 5）（3, 1, 0）（2, 2, 5）（2, 3, 0）（1, 4, 5）の 5通り
ポイント
- 金額の大きい硬貨から順に場合分けすると、もれが少なくなります。
- それぞれの硬貨の「持っている枚数の上限」を、ぜったいに守りましょう。
- 見つけた答えは、表に記録しながら進めると、計算ミスをふせげます。
- 「何通り？」と聞かれることも多いです。さいごに、見つけた数をかならず数えましょう。
練習問題
- 10円玉が6枚、5円玉が8枚あります。ちょうど50円をはらう方法は何通りありますか。
- 50円玉と10円玉を合わせて、ちょうど120円を作る方法を全部見つけなさい（どちらの硬貨も何枚でも使えるとします）。
- 1個150円のケーキと1個80円のクッキーを買います。合計が1000円いないで、できるだけたくさん買いたいです。合計金額がちょうど何円になる組み合わせがあるか、考えなさい。
解答・解説
- 解答：3通り
解説：10円硬貨x枚（0≦x≦6）、5円硬貨y枚（0≦y≦8）。10x＋5y＝50→2x＋y＝10。x＝0：y＝10→y≦8なので不可。x＝1：y＝8→y≦8✓。x＝2：y＝6✓。x＝3：y＝4✓。x＝4：y＝2✓。x＝5：y＝0✓。x＝6：y＝10－12＝－2→不可。答え：（1,8）（2,6）（3,4）（4,2）（5,0）の5通り。 - 解答：（50円0枚・10円12枚）（50円1枚・10円7枚）（50円2枚・10円2枚）の3通り
解説：50x＋10y＝120（x,y≧0の整数）。x＝0：10y＝120→y＝12✓。x＝1：10y＝70→y＝7✓。x＝2：10y＝20→y＝2✓。x＝3：50×3＝150＞120→不可。答え：（0,12）（1,7）（2,2）の3通り。確認：50×2＋10×2＝100＋20＝120✓ - 解答：ケーキと組み合わせによってちょうどの金額は複数存在します（例：ケーキ6個・クッキー0個で900円など）
解説：150x＋80y≦1000かつ150x＋80y＝？（ちょうどになる金額）。合計1000円ちょうどの場合：150x＋80y＝1000→15x＋8y＝100。y＝0：15x＝100→割り切れない。y＝5：15x＝60→x＝4✓（ケーキ4個・クッキー5個、600＋400＝1000✓）。y＝10：15x＝20→割り切れない。y＝15以上：8×15＝120＞100→不可。ちょうど1000円になる組み合わせは（ケーキ4個・クッキー5個）が存在する。合計個数＝9個（最多購入の一例）。