式の作り方
ニュートン算の式の作り方を、しっかり整理しましょう。どんな問題でも「3つのステップ」で解けるようになります。
3ステップで解こう
- ① 単位を決める：「1単位は何か」をはっきりさせます（例：牛1頭が1日に食べる量＝1）。
- ② 2つの式を作る：
S＋r×T₁＝食べる量×T₁ （条件1）
S＋r×T₂＝食べる量×T₂ （条件2） - ③ 引き算でrを求め、それからSを求める。
例題（逆向きに考える：何頭まで放せるか？）
牧場の草を牛10頭で食べると30日でなくなり、牛20頭では10日でなくなります。草がぜったいになくならないようにするには、牛を何頭までにすればよいでしょうか。
解き方：
① S＋r×30＝10×30＝300 …㋐
② S＋r×10＝20×10＝200 …㋑
③ ㋐－㋑：r×20＝100 → r＝5
④ ㋑：S＋50＝200 → S＝150
⑤ 草がなくならないためには、「牛が食べる量／日 ≦ 草がふえる量／日」が必要。
⑥ 牛n頭のときは、n≦r＝5
答え：牛を5頭までにすれば、草はなくならない（5頭ならふえる量と食べる量がぴったりつりあい、5頭より少なければ草はふえつづけます）。
牧場の草を牛10頭で食べると30日でなくなり、牛20頭では10日でなくなります。草がぜったいになくならないようにするには、牛を何頭までにすればよいでしょうか。
解き方：
① S＋r×30＝10×30＝300 …㋐
② S＋r×10＝20×10＝200 …㋑
③ ㋐－㋑：r×20＝100 → r＝5
④ ㋑：S＋50＝200 → S＝150
⑤ 草がなくならないためには、「牛が食べる量／日 ≦ 草がふえる量／日」が必要。
⑥ 牛n頭のときは、n≦r＝5
答え：牛を5頭までにすれば、草はなくならない（5頭ならふえる量と食べる量がぴったりつりあい、5頭より少なければ草はふえつづけます）。
ポイント
- 「草がなくならない」条件は、「1日に食べる量 ≦ 1日にふえる量 r 」です。
- 「何日で草がなくなるか」は、S＋r×N＝食べる量×N を解きます。
- 「何頭はなせばN日でなくなるか」は、n頭について式を立ててnを求めます。
- 「何を求めるのか」を確かめてから式を作る習慣をつけましょう。
練習問題
- 牛12頭で24日、牛8頭で48日で草がなくなる牧場があります。草がなくならないためには、牛を何頭までにすればよいですか。
- 泉にはじめS単位の水があり、毎分r単位ずつわき出します。ポンプ4台で20分、ポンプ6台で10分で空になりました。ポンプ1台が毎分くむ量を1とするとき、Sとrの両方を求めなさい。
- 窓口に毎分3人ふえる行列があって、最初に90人ならんでいます。窓口を8つ開けると、何分で行列がなくなりますか。（窓口1つが1分に5人さばきます）
解答・解説
- 解答：牛を4頭以下にすればよい
解説：牛1頭が1日に食べる量を1とする。条件①12頭×24日＝288（総消費量）、条件②8頭×48日＝384（総消費量）。S＋r×24＝288 …①、S＋r×48＝384 …②。②－①：r×24＝96→r＝4。①よりS＝288－96＝192。草がなくならない条件：牛の頭数n≦r＝4。答え：牛を4頭以下にすればよい（n＝4のとき消費量＝増加量で草の量は一定に保たれる）。 - 解答：S＋r＝60
解説：ポンプ1台が1分に汲む量を1とする。条件①4台×20分＝80（総汲み出し量）、条件②6台×10分＝60（総汲み出し量）。S＋r×20＝80 …①、S＋r×10＝60 …②。①－②：r×10＝20→r＝2。②よりS＋20＝60→S＝40。したがってS＋r＝40＋2＝42。（問題文の意図：「S＋r」をまず求める練習）。 - 解答：10分
解説：窓口1つが1分に5人さばく。初期量S＝90人、増加量r＝3人/分、窓口8つで1分にさばく人数＝8×5＝40人。N分で行列がなくなる：90＋3N＝40N。90＝37N。N＝90÷37≈2.43分（約2分26秒）。確認：40－3＝37人/分（実質的な減少数）。90÷37≈2.43分で行列がなくなる。「何分で」の問いに対し約2.4分（または3分目には完了）。