「ちがいが変わらない」ことをうまく使う
倍数算では、「2人のちがいは変わらない」場合や「合計は変わらない」場合があります。それを上手に使うと、すばやく解ける問題があります。
「ちがい」と「合計」のどちらが変わらない？
2人の間でお金を行き来させるだけのとき（外からお金が入らない場合）は、次のようになります。
- A＋Bの合計は変わらない。
- A－Bのちがいは、わたした金額の2倍変わります（AはNへって、BはNふえるので、ちがいは2Nだけ変わる）。
例題
兄と弟のお金の比は4：1でした。兄が弟に600円あげたら、比が2：1になりました。今の兄のお金はいくらでしょうか。
解き方：
① 変化前：兄＝4k、弟＝k
② 変化後：兄＝4k－600、弟＝k＋600
③ 比が2：1なので、（4k－600）：（k＋600）＝2：1
1×（4k－600）＝2×（k＋600）
4k－600＝2k＋1200
2k＝1800
k＝900
④ 今の兄＝4×900－600＝3600－600＝3000円
兄と弟のお金の比は4：1でした。兄が弟に600円あげたら、比が2：1になりました。今の兄のお金はいくらでしょうか。
解き方：
① 変化前：兄＝4k、弟＝k
② 変化後：兄＝4k－600、弟＝k＋600
③ 比が2：1なので、（4k－600）：（k＋600）＝2：1
1×（4k－600）＝2×（k＋600）
4k－600＝2k＋1200
2k＝1800
k＝900
④ 今の兄＝4×900－600＝3600－600＝3000円
比の「クロス計算」をおぼえよう
「a：b＝c：d」のときには、「外がわどうし」と「内がわどうし」をかけたものが等しくなります。これを使うと、計算が楽になることがあります。
（変化前の大きい量）×（変化後の小さい比）＝（変化後の大きい量）×（変化前の小さい比）
ポイント
- はじめの比を使って「4k」「k」のように書きあらわします。
- 「外がわ×外がわ＝内がわ×内がわ」（比のクロス計算）で式をかんたんに作れます。
- 答えが出たら、変化前と変化後の両方の比が合うかをたしかめましょう。
練習問題
- AとBの枚数の比が3：1でした。AがBに30枚わたしたら比が3：2になりました。今のBの枚数を求めなさい。
- PとQのお金の比は5：2でした。PがQに1000円あげると比が3：2になりました。今のQのお金を求めなさい。
- 2つの箱AとBにボールが入っていて、比は7：3です。AからBに20個移すと比が3：2になりました。はじめのAのボールの個数を求めなさい。
解答・解説
- 解答：Bの現在の枚数は60枚
解説：変化前：A＝3k、B＝k。AがBに30枚渡した後：A＝3k－30、B＝k＋30。比が3：2なので（3k－30）：（k＋30）＝3：2。2（3k－30）＝3（k＋30）。6k－60＝3k＋90。3k＝150。k＝50。Bの現在＝k＋30＝50＋30＝80枚。確認：A変化前＝150枚、B変化前＝50枚。A変化後＝120枚、B変化後＝80枚→120：80＝3：2✓ - 解答：Qの現在の所持金は3000円
解説：変化前：P＝5k、Q＝2k。PがQに1000円あげた後：P＝5k－1000、Q＝2k＋1000。比が3：2なので（5k－1000）：（2k＋1000）＝3：2。2（5k－1000）＝3（2k＋1000）。10k－2000＝6k＋3000。4k＝5000。k＝1250。Qの現在＝2k＋1000＝2500＋1000＝3500円。確認：P変化後＝5×1250－1000＝5250円、Q変化後＝3500円→5250：3500＝3：2✓ - 解答：最初のAは140個
解説：変化前：A＝7k、B＝3k。AからBに20個移した後：A＝7k－20、B＝3k＋20。比が3：2なので（7k－20）：（3k＋20）＝3：2。2（7k－20）＝3（3k＋20）。14k－40＝9k＋60。5k＝100。k＝20。最初のA＝7×20＝140個。確認：B最初＝60個。移動後A＝120個、B＝80個→120：80＝3：2✓