芋づる算① 整数の組み合わせを全部見つける
芋（いも）づる算は、いくつかの数の組み合わせをもれなく全部見つける問題です。1つ答えが見つかると、つぎつぎに芋（いも）のように出てくることから、この名前がついています。
基本のやり方
「ax＋by＝c」（aとbとcは決まった数で、xとyは0以上の整数）の答えを全部見つけます。
- ① 片方の数（たとえばx）を0から順番に入れてみます。
- ② 残りの式がちゃんと計算できるかを見ます。
- ③ もう片方（y）が0以上の整数になるか調べます。
- ④ 見つかった組み合わせを、ぜんぶ表にまとめます。
📘 例題
5円玉と3円玉を組み合わせて、ちょうど31円をはらう方法を全部見つけなさい。（どちらの硬貨も0枚以上）
解き方：5x＋3y＝31（x：5円玉の枚数、y：3円玉の枚数）
xを0から順に入れてみます。
x＝0：3y＝31 → わり切れない
x＝1：3y＝26 → わり切れない
x＝2：3y＝21 → y＝7 ✓
x＝3：3y＝16 → わり切れない
x＝4：3y＝11 → わり切れない
x＝5：3y＝6 → y＝2 ✓
x＝6：3y＝1 → わり切れない
x＝7：5×7＝35 で31をこえるから終了
答え：（x, y）＝（2, 7）と（5, 2）の2通り
5円玉と3円玉を組み合わせて、ちょうど31円をはらう方法を全部見つけなさい。（どちらの硬貨も0枚以上）
解き方：5x＋3y＝31（x：5円玉の枚数、y：3円玉の枚数）
xを0から順に入れてみます。
x＝0：3y＝31 → わり切れない
x＝1：3y＝26 → わり切れない
x＝2：3y＝21 → y＝7 ✓
x＝3：3y＝16 → わり切れない
x＝4：3y＝11 → わり切れない
x＝5：3y＝6 → y＝2 ✓
x＝6：3y＝1 → わり切れない
x＝7：5×7＝35 で31をこえるから終了
答え：（x, y）＝（2, 7）と（5, 2）の2通り
💡 ポイント
- 片方の数を0から順番に1ずつふやして入れていきます。
- 「3でわり切れるか」「2でわり切れるか」を1つずつていねいにチェックしましょう。
- 合計金額をこえたら、それ以上ふやしてもダメなので、そこで終わりです。
- 見つけた答えは、かならず表にまとめると、見落としがなくなります。
練習問題
- 4円と7円の切手をくみ合わせて、ちょうど30円分にする方法を全部見つけなさい。
- 合計3枚のコインで21円を作る方法を、10円玉と1円玉だけを使って全部見つけなさい。
- x＋3y＝20 になる、0以上の整数の組（x, y）を全部見つけなさい。