特別な平行四辺形⑤ まとめと応用
平行四辺形・長方形・ひし形・正方形の性質を使って、複合的な問題を解きます。
📘 例題①
四角形 ABCD の各辺の中点を E、F、G、H（AB上のE、BC上のF、CD上のG、DA上のH）とする。EFGH が平行四辺形であることを証明しなさい。
解答：対角線 AC に対して中点連結定理より EF∥AC、EF=AC/2。対角線 AC に対して HG∥AC、HG=AC/2。よって EF∥HG かつ EF=HG。条件⑤（1組の向かい合う辺が平行かつ等しい）より EFGH は平行四辺形。
四角形 ABCD の各辺の中点を E、F、G、H（AB上のE、BC上のF、CD上のG、DA上のH）とする。EFGH が平行四辺形であることを証明しなさい。
解答：対角線 AC に対して中点連結定理より EF∥AC、EF=AC/2。対角線 AC に対して HG∥AC、HG=AC/2。よって EF∥HG かつ EF=HG。条件⑤（1組の向かい合う辺が平行かつ等しい）より EFGH は平行四辺形。
💡 ポイント
- 中点連結定理 → 平行四辺形になる条件⑤ の流れが頻出
- 長方形の各辺の中点 → ひし形、ひし形の各辺の中点 → 長方形
練習問題
- 長方形の各辺の中点を結んでできる四角形は何か、またそれは何故か答えなさい。
解答・解説
- 解答：ひし形。長方形の対角線は等しい（AC=BD）ので、各辺の中点を結んだ四角形の4辺はすべて等しくなる（各辺 = 対角線/2）。よってひし形。