平面図形⑤ 対称移動と図形の合同
図形の移動の最後、対称移動 を学びます。鏡に映したような図形を作る移動です。最後に、3種類の移動を組み合わせると元の図形に 重なる＝合同 な図形に行きつくこともまとめます。
対称移動とは
1本の直線 ℓ を 対称の軸 として、その直線について鏡のように図形を反対側に映す移動を 対称移動（線対称移動） といいます。
対称移動の性質：
・対応する点を結ぶ線分は、対称の軸 ℓ で 垂直に二等分される
・対称の軸の上にある点は動かない
・対応する辺は長さが等しく、対応する角は同じ
📘 例題①
直線 ℓ について、点 A を対称移動して点 A' を作りました。
(1) 線分 AA' と直線 ℓ の関係は？
(2) AA' と ℓ が交わる点を M とすると、AM と MA' の長さの関係は？
解答：
(1) AA' ⊥ ℓ（垂直）
(2) AM = MA'（M は AA' の中点）
つまり ℓ は AA' の 垂直二等分線。
直線 ℓ について、点 A を対称移動して点 A' を作りました。
(1) 線分 AA' と直線 ℓ の関係は？
(2) AA' と ℓ が交わる点を M とすると、AM と MA' の長さの関係は？
解答：
(1) AA' ⊥ ℓ（垂直）
(2) AM = MA'（M は AA' の中点）
つまり ℓ は AA' の 垂直二等分線。
座標における対称移動
- x 軸について対称：(x, y) → (x, −y)（y 座標の符号反転）
- y 軸について対称：(x, y) → (−x, y)（x 座標の符号反転）
- 原点について対称（180°回転と同じ）：(x, y) → (−x, −y)
📘 例題②
点 P(3, −5) を次の直線について対称移動した点の座標を求めなさい。
(1) x 軸 (2) y 軸
解答：
(1) x 軸対称：(x, y) → (x, −y) なので (3, 5)
(2) y 軸対称：(x, y) → (−x, y) なので (−3, −5)
点 P(3, −5) を次の直線について対称移動した点の座標を求めなさい。
(1) x 軸 (2) y 軸
解答：
(1) x 軸対称：(x, y) → (x, −y) なので (3, 5)
(2) y 軸対称：(x, y) → (−x, y) なので (−3, −5)
図形の合同
2つの図形が 平行移動・回転移動・対称移動を組み合わせて重ね合わせられる とき、これらの図形は 合同 であるといいます。
合同な2つの図形では、対応する辺の長さ、対応する角の大きさはそれぞれ等しい、という性質があります。
💡 ポイント
- 対称移動：1本の直線（対称の軸）について鏡映し
- 対応点を結ぶ線分は、軸で垂直に二等分される
- x軸対称：(x, y)→(x,−y) y軸対称：(x, y)→(−x, y)
- 合同：3種類の移動で重ね合わせられる図形
練習問題
- 点 A(−2, 4) を x 軸について対称移動した点の座標を求めなさい。
- 点 B(5, −3) を y 軸について対称移動した点の座標を求めなさい。
- 対称移動について、次のうち正しいものをすべて選びなさい。
ア) 図形の向きは変わらない イ) 対称の軸上の点は動かない ウ) 対応辺の長さは等しい エ) 対応点を結ぶ線分は軸と平行になる
解答・解説
- 解答：(−2, −4)
解説：x軸対称：y座標の符号を反転。 - 解答：(−5, −3)
解説：y軸対称：x座標の符号を反転。 - 解答：イ、ウ
解説：対称移動では図形の向きが裏返り、対応点を結ぶ線分は軸と垂直になる。軸上の点は動かず、辺の長さは等しい。