作図② 垂線の作図
直線に対して垂直な直線、いわゆる 垂線（すいせん） を作図する方法を学びます。「直線上にある点から」と「直線外の点から」の2パターンを覚えましょう。
直線 ℓ 上の点 P を通る ℓ の垂線
① P を中心に適当な半径で円弧をかき、ℓ との交点を A、B とする
② A、B を中心に同じ半径（PA より大きい）で円弧をかき、交点を Q とする
③ 直線 PQ をひく → これが垂線
この手順は、線分 AB の垂直二等分線を作図しているのと同じです。P が AB の中点になるよう取ったので、PQ は AB に垂直で、P を通ります。
直線 ℓ 外の点 P から ℓ への垂線
① P を中心に適当な半径で円弧をかき、ℓ との交点を A、B とする（P から ℓ までの距離より大きい半径で）
② A、B を中心に同じ半径で円弧をかき、ℓ の反対側に交点 Q をとる
③ 直線 PQ をひく → これが垂線（足は AB の中点）
📘 例題①
直線 ℓ と、ℓ 上にない点 P があります。P から ℓ への垂線を作図する手順を答えなさい。
解答：
① P を中心に、ℓ と2点 A、B で交わる円弧をかく
② A、B からそれぞれ同じ半径の円弧を ℓ の反対側に引き、交点 Q をとる
③ PQ をひく → これが垂線
直線 ℓ と、ℓ 上にない点 P があります。P から ℓ への垂線を作図する手順を答えなさい。
解答：
① P を中心に、ℓ と2点 A、B で交わる円弧をかく
② A、B からそれぞれ同じ半径の円弧を ℓ の反対側に引き、交点 Q をとる
③ PQ をひく → これが垂線
垂線の利用：点と直線の距離
直線 ℓ 上にない点 P から ℓ までの 最短距離 は、P から ℓ への 垂線の長さ です。
点と直線の距離 ＝ 垂線の長さ
📘 例題②
ある三角形の頂点 A から、対辺 BC への垂線を作図したい。どのように作図しますか。
解答：
直線 BC を考え、点 A から直線 BC への垂線を作図する（直線外の点から垂線の作図と同じ手順）。
垂線の足は BC（またはその延長）上にある。
ある三角形の頂点 A から、対辺 BC への垂線を作図したい。どのように作図しますか。
解答：
直線 BC を考え、点 A から直線 BC への垂線を作図する（直線外の点から垂線の作図と同じ手順）。
垂線の足は BC（またはその延長）上にある。
💡 ポイント
- 垂線の作図：基本は「対称な2点を作って結ぶ」
- 直線上の点からの垂線：その点を中心の円弧 → 交点2つから対称点 → 結ぶ
- 直線外の点からの垂線：その点を中心に円弧で直線と2点交わらせる → 反対側に対称点 → 結ぶ
- 点と直線の距離は垂線の長さ（最短）
練習問題
- 直線 ℓ 上の点 A を通る、ℓ の垂線を作図する手順を述べなさい。
- 三角形 ABC の頂点 A から対辺 BC への垂線を作図しなさい。この垂線の名前を答えなさい。
- 直線 ℓ 上にない点 P から、ℓ への最短距離を作図によって求める方法を述べなさい。
解答・解説
- 解答：A を中心に適当な半径で円弧をかき ℓ との交点 P, Q を作る。P, Q から同じ半径で円弧をかき交点 R を求める。AR をひく
解説：これが ℓ 上の点 A を通る垂線。 - 解答：A を中心に円弧で BC と2点で交わらせ、その2点から同じ半径の円弧の交点を BC の反対側に作り A と結ぶ。これは「三角形の高さ（垂線）」
解説：三角形の頂点から対辺へひいた垂線を高さという。 - 解答：P から ℓ への垂線を作図し、その垂線の長さ（P から ℓ までの足の長さ）が最短距離
解説：垂線の長さが最短距離。