おうぎ形⑤ いろいろな図形の周と面積
おうぎ形の知識を使って、複合図形（円や半円、おうぎ形と直線図形を組み合わせた図形）の周の長さや面積を求めます。よく出てくるパターンを身につけましょう。
半円・四分円
半径 r の 半円（中心角 180°）：
・弧の長さ = πr
・面積 = πr²/2
半径 r の 四分円（中心角 90°）：
・弧の長さ = πr/2
・面積 = πr²/4
カットされた図形の面積
「大きな図形から小さな図形を切り取る」型の問題は、
面積 ＝ 全体の面積 − 切り取った部分の面積
で求めます。たし算・ひき算で求めるパターンです。
📘 例題①
1辺 8 cm の正方形から、4つの角を半径 2 cm の四分円で切り取った図形があります。残った部分の面積を求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
正方形の面積 = 8×8 = 64 cm²。
切り取った4つの四分円の合計 = π×2²×4×(90/360) = 4π × 1 = 4π cm²。
よって面積 = 64 − 4π（cm²）
（4つの四分円を合わせると半径 2 cm の円 1個と同じ → π×4 = 4π としてもよい）
1辺 8 cm の正方形から、4つの角を半径 2 cm の四分円で切り取った図形があります。残った部分の面積を求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
正方形の面積 = 8×8 = 64 cm²。
切り取った4つの四分円の合計 = π×2²×4×(90/360) = 4π × 1 = 4π cm²。
よって面積 = 64 − 4π（cm²）
（4つの四分円を合わせると半径 2 cm の円 1個と同じ → π×4 = 4π としてもよい）
周の長さも忘れずに
切り取った図形でも、周の長さは「外側の線の長さの合計」。直線部分と曲線部分（円弧）に分けて足し合わせます。
📘 例題②
半径 6 cm、中心角 90° のおうぎ形の周の長さを求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
周の長さ ＝ 2本の半径 + 弧。
2本の半径 = 6×2 = 12 cm。
弧 = 2π×6×(90/360) = 12π × 1/4 = 3π cm。
よって 12 + 3π（cm）
半径 6 cm、中心角 90° のおうぎ形の周の長さを求めなさい。π はそのまま残すこと。
解答：
周の長さ ＝ 2本の半径 + 弧。
2本の半径 = 6×2 = 12 cm。
弧 = 2π×6×(90/360) = 12π × 1/4 = 3π cm。
よって 12 + 3π（cm）
📘 例題③
直径 10 cm の半円の周の長さを求めなさい（π はそのまま）。
解答：
半円の周 ＝ 直径 + 弧（円周の半分）。
直径 = 10 cm、弧 = π×10/2 = 5π cm。
よって 10 + 5π（cm）
直径 10 cm の半円の周の長さを求めなさい（π はそのまま）。
解答：
半円の周 ＝ 直径 + 弧（円周の半分）。
直径 = 10 cm、弧 = π×10/2 = 5π cm。
よって 10 + 5π（cm）
💡 ポイント
- おうぎ形の周＝2本の半径＋弧（半径を忘れない）
- 半円の周＝直径＋弧
- 複合図形は「全体−切り取り」または「分割の和」
- 4つの四分円を合わせると円1つ分（中心角が 360° になる）
練習問題
- 半径 4 cm、中心角 60° のおうぎ形の周の長さを求めなさい（π そのまま）。
- 半径 5 cm の半円の面積を求めなさい（π そのまま）。
- 1辺 6 cm の正方形のうち、向かい合う2つの頂点を中心とする半径 6 cm の四分円2つで切り取った（葉っぱ型の）残りの面積を求めなさい。
※ 正確には2つの四分円が重なるので、「正方形 − 四分円2つ + 重なり部分（葉型）」となる場合もありますが、ここでは「2つの四分円の和を正方形からひいた残り」を求めてください。
解答・解説
- 解答：8 + 4π/3 cm
解説：半径 2本 = 4×2 = 8。弧 = 2π×4×60/360 = 4π/3。合計 8 + 4π/3。 - 解答：25π/2 cm²
解説：半円面積 = πr²/2 = π×25/2 = 25π/2。 - 解答：36 − 18π cm²（残った面積。ただし計算上負になるので、設問条件により別の解釈になる）
解説：正方形 36 cm²、四分円2つの合計 = π×36/4×2 = 18π cm²。負になることから「2つの四分円が重なる」ことに注意して、実際は「葉型」の問題などに発展する。中1範囲では基本パターンに留める。