実数② 絶対値と数直線
絶対値を高校では場合分けで正確に定義します。文字を含む絶対値も扱えるようにしましょう。
絶対値の定義
実数 a の絶対値 |a| は原点からの距離。
a ≧ 0 のとき |a| = a
a ＜ 0 のとき |a| = −a
- |7| = 7、|−3| = 3、|0| = 0
- |√2 − 1| = √2 − 1（√2 > 1 だから正）
- |1 − √2| = √2 − 1（1 − √2 < 0 だから符号を逆に）
📘 例題①
次の絶対値を求めなさい。
(1) |−2/3| (2) |3 − π| (3) |√5 − 2|
解答：
(1) 2/3 (2) π > 3 だから π − 3 (3) √5 > 2 だから √5 − 2
次の絶対値を求めなさい。
(1) |−2/3| (2) |3 − π| (3) |√5 − 2|
解答：
(1) 2/3 (2) π > 3 だから π − 3 (3) √5 > 2 だから √5 − 2
2点間の距離
数直線上の2点 A(a)、B(b) 間の距離は |b − a|。
📘 例題②
A(−3)、B(5)、C(−7) について次の距離を求めなさい。
(1) AB (2) BC
解答：(1) |5 − (−3)| = 8 (2) |−7 − 5| = 12
A(−3)、B(5)、C(−7) について次の距離を求めなさい。
(1) AB (2) BC
解答：(1) |5 − (−3)| = 8 (2) |−7 − 5| = 12
絶対値の性質
- |a| ≧ 0
- |a| = |−a|
- |ab| = |a||b|
- |a|² = a²
💡 ポイント
- 絶対値の定義：a ≧ 0 なら a、a < 0 なら −a
- 無理数を含む式は中身の正負を判定して外す
- 2点間の距離は |b − a|
- |a|² = a² はよく使う
練習問題
- 次を求めなさい。(1) |−9| (2) |2 − √7| (3) |3 − √5|
- A(7)、B(−4) 間の距離を求めなさい。
- |x| = 5 を満たす x をすべて求めなさい。
解答・解説
- 解答：(1) 9 (2) √7 − 2 (3) 3 − √5
解説：√7 ≈ 2.65 > 2、√5 ≈ 2.24 < 3。 - 解答：11
解説：|7 − (−4)| = 11。 - 解答：x = 5, −5
解説：原点からの距離が5の点は ±5。