応用漸化式（分数型・nが入る型）
分数型 a_{n+1} = (pa_n + q)/(ra_n + s) は逆数 b_n = 1/a_n に置き換えると線形になる場合があります。
n が入る型 a_{n+1} = pa_n + f(n) は両辺を pⁿ⁺¹ で割ると階差型になります。
📘 例題① a_1=1、a_{n+1}=2a_n+n の一般項。
解答：両辺を 2ⁿ⁺¹ で割る：a_{n+1}/2ⁿ⁺¹ = a_n/2ⁿ + n/2ⁿ⁺¹
b_n = a_n/2ⁿ とおくと階差型 → b_{n+1}−b_n = n/2ⁿ⁺¹。
（計算過程は複雑、最終形は a_n = C·2ⁿ − n − 1 などになる）
解答：両辺を 2ⁿ⁺¹ で割る：a_{n+1}/2ⁿ⁺¹ = a_n/2ⁿ + n/2ⁿ⁺¹
b_n = a_n/2ⁿ とおくと階差型 → b_{n+1}−b_n = n/2ⁿ⁺¹。
（計算過程は複雑、最終形は a_n = C·2ⁿ − n − 1 などになる）
💡 ポイント
- パターンごとに「置換テクニック」を覚える
練習問題
- a_1=1、a_{n+1}=a_n/(a_n+1) の逆数 b_n=1/a_n の漸化式。
解答・解説
- 解答：b_{n+1} = b_n + 1 → 等差数列 → b_n=n、a_n=1/n。