漸化式 総合演習
📘 例題① S_n は数列 {a_n} の和。S_n = 2a_n − n のとき a_n を求めよ。
解答：a_{n+1} = S_{n+1} − S_n = 2a_{n+1} − (n+1) − (2a_n − n) → a_{n+1} = 2a_n + 1
特性方程式 α=2α+1 → α=−1。a_1=S_1=2a_1−1 → a_1=1。
a_n + 1 は初項 2、公比 2 の等比 → a_n = 2ⁿ − 1
解答：a_{n+1} = S_{n+1} − S_n = 2a_{n+1} − (n+1) − (2a_n − n) → a_{n+1} = 2a_n + 1
特性方程式 α=2α+1 → α=−1。a_1=S_1=2a_1−1 → a_1=1。
a_n + 1 は初項 2、公比 2 の等比 → a_n = 2ⁿ − 1
💡 ポイント
- S_n と a_n の関係式 a_n = S_n − S_{n−1}（n≧2）が頻出
練習問題
- a_1=1、a_{n+1}=4a_n−6 の一般項。
解答・解説
- 解答：a_n = 2 − 4ⁿ⁻¹
特性方程式 α=4α−6 → α=2。a_n−2 は公比4、初項−1。