帰納法 総合演習
📘 例題① 漸化式 a_1=1、a_{n+1}=2a_n+1 で a_n = 2ⁿ − 1 を帰納法で示せ。
解答：n=1：2−1=1 OK。
n=k仮定：a_k = 2ᵏ−1。n=k+1：a_{k+1}=2(2ᵏ−1)+1 = 2ᵏ⁺¹−1。
解答：n=1：2−1=1 OK。
n=k仮定：a_k = 2ᵏ−1。n=k+1：a_{k+1}=2(2ᵏ−1)+1 = 2ᵏ⁺¹−1。
💡 ポイント
- 漸化式から一般項を「予想 → 帰納法で確認」もよく使う
練習問題
- 1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6 を帰納法で示せ（概略）。
解答・解説
- 解答：n=1：1=1 OK。仮定し、両辺に (k+1)² を加えて (k+1)(k+2)(2k+3)/6 に整理。