部分積分の基本
積の微分公式 (f·g)' = f'·g + f·g' から導かれる
∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx が部分積分です。
選び方の目安：log や x の累乗は f（微分する側）に、三角関数や e^x は g'（積分する側）に置くと簡単になることが多い。
📘 例題① ∫ x·e^x dx
解答：f=x、g'=e^x → f'=1、g=e^x。
∫ x·e^x dx = x·e^x − ∫ 1·e^x dx = x·e^x − e^x + C = (x−1)e^x + C
解答：f=x、g'=e^x → f'=1、g=e^x。
∫ x·e^x dx = x·e^x − ∫ 1·e^x dx = x·e^x − e^x + C = (x−1)e^x + C
📘 例題② ∫ log x dx
解答：f=log x、g'=1 → f'=1/x、g=x。
= x log x − ∫ x·(1/x) dx = x log x − x + C
解答：f=log x、g'=1 → f'=1/x、g=x。
= x log x − ∫ x·(1/x) dx = x log x − x + C
💡 ポイント
- 「微分が簡単になる方を f」「積分が簡単な方を g'」
- log は f に、x^n は f に、e^x や sin/cos は g' に
練習問題
- ∫ x·sin x dx
解答・解説
- 解答：−x cos x + sin x + C
f=x、g'=sin x → g=−cos x。