部分積分の応用と総合演習
部分積分を2回繰り返す例、同じ形に戻る漸化形などを扱います。
📘 例題①（2回） ∫ x²·e^x dx
解答：= x²·e^x − ∫ 2x·e^x dx = x²·e^x − 2·{x·e^x − e^x} = (x²−2x+2)e^x + C
解答：= x²·e^x − ∫ 2x·e^x dx = x²·e^x − 2·{x·e^x − e^x} = (x²−2x+2)e^x + C
📘 例題②（漸化） I = ∫ e^x·sin x dx
解答：2回の部分積分で I = e^x sin x − e^x cos x − I → 2I = e^x(sin x − cos x)
I = e^x(sin x − cos x)/2 + C
解答：2回の部分積分で I = e^x sin x − e^x cos x − I → 2I = e^x(sin x − cos x)
I = e^x(sin x − cos x)/2 + C
💡 ポイント
- e^x × 三角関数は2回部分積分で元に戻る → 方程式を解く
練習問題
- ∫ x·log x dx
解答・解説
- 解答：(x²/2)log x − x²/4 + C
f=log x、g'=x。