図形の性質②まとめ
💡 空間図形・多面体まとめ
- 位置関係：交わる・平行・ねじれ（空間特有）
- 直線⊥平面：平面内の交わる2直線に垂直であること
- オイラーの定理：V−E+F=2（凸多面体）
- 正多面体：5種類（四・六・八・十二・二十面体）
- 球：体積 (4/3)πr³、表面積 4πr²
- 錐体：体積 = 柱体の 1/3
- 三垂線の定理：空間の垂直を平面問題に帰着
- 正四面体の高さ：h = a√6/3
総合練習問題
- すべての面が正方形で各頂点に3面が集まる多面体（正六面体）の V、E、F をオイラーの定理で確認せよ。
- 半径 r の球に内接する正四面体の1辺の長さを求めよ。（正四面体の外接球半径 = a√6/4）
- 底面の半径 3、母線の長さ 5 の円錐の高さと体積を求めよ。
解答・解説
- 正六面体：V=8、E=12、F=6。8−12+6=2 ✓
- 外接球半径 R = a√6/4 = r → a = 4r/√6 = 4r√6/6 = 2r√6/3
- 高さ h=√(5²−3²)=√16=4。体積=(1/3)×π×9×4=12π