位置エネルギーと力学的エネルギー保存則
高い場所にある物体は、落下することで仕事をする能力を持ちます。これが位置エネルギーです。
基本知識
重力による位置エネルギー (potential energy) U:U = mgh
m: 質量(kg)、g: 重力加速度(m/s²)、h: 基準面からの高さ(m)。単位は J。
高さが増えるとエネルギーが増加。基準面(h=0 とする面)は自由に設定できます。
力学的エネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギー:E = K + U = ½mv² + mgh
力学的エネルギー保存則: 外力(摩擦・空気抵抗など)が仕事をしない場合、力学的エネルギーは一定に保たれます:½mv₁² + mgh₁ = ½mv₂² + mgh₂
これは「高さが下がると速さが増し、高さが上がると速さが減る」ことを数式で表しています。
位置エネルギー U (potential energy)（mgh。高さに応じた仕事をする能力）
力学的エネルギー E（K + U の合計。摩擦なしで保存される）
力学的エネルギー保存則（外力が仕事をしないとき E = 一定）
基準面（h = 0 と設定する面。自由に選べる）
弾性力による位置エネルギー（バネ: U = ½kx²。バネ定数 k、伸び x）
エネルギー変換（位置エネルギー ↔ 運動エネルギー の変換）
深掘り (背景・意義)
力学的エネルギー保存則は、摩擦や空気抵抗がないときだけ成り立ちます。現実の運動ではこれらが常に存在するため、力学的エネルギーは減少し、熱などに変換されます。
ジェットコースターは力学的エネルギー保存則の典型例です。最初の高い場所でのポテンシャルエネルギーが、下降時に運動エネルギーに変換されて高速になります。エネルギー変換がうまく設計されているため、一つの高い点から出発すれば次の点でどれだけの速さになるかが計算できます(完全に保存される場合)。
弾性力による位置エネルギー(バネのエネルギー U = ½kx²)も同様に保存則が成り立ちます。バネ-おもり系では、U とKが交互に変換しながら振動します(単振動)。
保存則は「エネルギーが消えない」というエネルギー保存の法則(熱力学第1法則)の力学版です。
- U = mgh(基準面からの高さに比例)
- E = K + U = ½mv² + mgh
- 保存則: 摩擦なし → E = 一定
- 高さ↑ → U↑ → K↓ → v↓
- 高さ↓ → U↓ → K↑ → v↑
- 基準面は自由に選べる
- 摩擦ありの場合は E が減少する
注意点 (混同しやすい)
① U = mgh の h は基準面からの高さ。問題によって基準面が異なるので明示すること。② 保存則が使えるのは摩擦・空気抵抗がないとき。摩擦がある場合は「失われた力学的エネルギー = 摩擦力×移動距離」として計算する。③ 基準面を変えても保存則の計算結果は変わらない(差をとるから)。④ 速さが0になる点=最高点とは限らない(水平方向の速さが残っている場合もある)。
練習
- 質量 2 kg の物体が高さ 10 m にある。基準面を地面として位置エネルギーを求めなさい(g = 10 m/s²)。
- 上記の物体が自由落下したとき、高さ 5 m の点での速さを力学的エネルギー保存則で求めなさい。
- 摩擦のないコースで、高さ 20 m から静止していた質量 3 kg の物体が地面に到達したときの速さを求めなさい(g = 10 m/s²)。