三角不等式②（合成型）
a sinθ + b cosθ ≥ k の形は合成してから不等式を解きます。
📘 例題①
0 ≤ θ < 2π で sinθ + cosθ ≥ 1 を解きなさい。
解答：sinθ+cosθ = √2 sin(θ+π/4)。
√2 sin(θ+π/4) ≥ 1 → sin(θ+π/4) ≥ 1/√2。
θ+π/4 ∈ [π/4, 9π/4]。sin ≥ √2/2 の範囲 [π/4, 3π/4] と [2π+π/4, 2π+3π/4]。
θ ∈ [0, π/2] と θ ∈ [2π, 2π+π/2]（後者は範囲外）。
また θ+π/4 = 2π+π/4 → θ = 2π は含まず。
0 ≤ θ ≤ π/2
0 ≤ θ < 2π で sinθ + cosθ ≥ 1 を解きなさい。
解答：sinθ+cosθ = √2 sin(θ+π/4)。
√2 sin(θ+π/4) ≥ 1 → sin(θ+π/4) ≥ 1/√2。
θ+π/4 ∈ [π/4, 9π/4]。sin ≥ √2/2 の範囲 [π/4, 3π/4] と [2π+π/4, 2π+3π/4]。
θ ∈ [0, π/2] と θ ∈ [2π, 2π+π/2]（後者は範囲外）。
また θ+π/4 = 2π+π/4 → θ = 2π は含まず。
0 ≤ θ ≤ π/2
📘 例題②
0 ≤ θ ≤ π で √3 sinθ − cosθ ≥ 0 を解きなさい。
解答：2sin(θ−π/6) ≥ 0 → sin(θ−π/6) ≥ 0。
θ−π/6 ∈ [−π/6, 5π/6]。sin ≥ 0 の範囲 [0, π]。共通部分 [0, 5π/6]。
θ−π/6 ∈ [0, 5π/6] → θ ∈ [π/6, π]。
π/6 ≤ θ ≤ π
0 ≤ θ ≤ π で √3 sinθ − cosθ ≥ 0 を解きなさい。
解答：2sin(θ−π/6) ≥ 0 → sin(θ−π/6) ≥ 0。
θ−π/6 ∈ [−π/6, 5π/6]。sin ≥ 0 の範囲 [0, π]。共通部分 [0, 5π/6]。
θ−π/6 ∈ [0, 5π/6] → θ ∈ [π/6, π]。
π/6 ≤ θ ≤ π
💡 ポイント
- 合成 → 新変数の範囲を θ の範囲から計算 → 不等式解く → θ に戻す
- θ の制約範囲と交差させて最終解を確定
練習問題
- 0 ≤ θ < 2π で sinθ − cosθ ≥ 0 を解きなさい。
- 0 ≤ θ ≤ π で sinθ + √3 cosθ < 1 を解きなさい。
- 0 ≤ θ < 2π で 2sinθ − 2cosθ > √2 を解きなさい。
解答・解説
- 解答：π/4 ≤ θ ≤ 5π/4
解説：√2 sin(θ−π/4) ≥ 0。θ−π/4 ∈ [−π/4, 7π/4]。sin ≥ 0 は [0,π]。θ ∈ [π/4, 5π/4]。 - 解答：0 ≤ θ < π/3 または 5π/6 < θ ≤ π
解説：2sin(θ+π/3) < 1 → sin(θ+π/3) < 1/2。θ+π/3 ∈ [π/3, 4π/3]で sin < 1/2 の範囲を求める。 - 解答：5π/12 < θ < 13π/12
解説：2√2 sin(θ−π/4) > √2 → sin(θ−π/4) > 1/2。θ−π/4 ∈ [−π/4,7π/4]で sin>1/2 は (π/6, 5π/6)。θ ∈ (5π/12, 13π/12)。