三角方程式・不等式 まとめ
三角方程式と不等式の総合演習です。最大値問題も扱います。
📘 例題①（置換型最大値）
f(θ) = sinθcosθ + sinθ + cosθ（0 ≤ θ ≤ π）の最大値を求めなさい。
解答：t = sinθ+cosθ（−1 ≤ t ≤ √2）とおくと sinθcosθ = (t²−1)/2。
f = (t²−1)/2 + t = (t²+2t−1)/2 = ((t+1)²−2)/2。
t = √2 で最大 → f = (2+2√2−1)/2 = (1+2√2)/2
f(θ) = sinθcosθ + sinθ + cosθ（0 ≤ θ ≤ π）の最大値を求めなさい。
解答：t = sinθ+cosθ（−1 ≤ t ≤ √2）とおくと sinθcosθ = (t²−1)/2。
f = (t²−1)/2 + t = (t²+2t−1)/2 = ((t+1)²−2)/2。
t = √2 で最大 → f = (2+2√2−1)/2 = (1+2√2)/2
📘 例題②
f(θ) = cos²θ + sinθ（0 ≤ θ ≤ 2π）の最大値・最小値を求めなさい。
解答：t = sinθ（−1 ≤ t ≤ 1）とおくと f = 1−t²+t = −t²+t+1 = −(t−1/2)²+5/4。
最大値 5/4（t=1/2）、最小値 −1（t=−1）
f(θ) = cos²θ + sinθ（0 ≤ θ ≤ 2π）の最大値・最小値を求めなさい。
解答：t = sinθ（−1 ≤ t ≤ 1）とおくと f = 1−t²+t = −t²+t+1 = −(t−1/2)²+5/4。
最大値 5/4（t=1/2）、最小値 −1（t=−1）
💡 まとめ
- 基本型：基準角を求めて象限別に解を列挙
- 2次型：相互関係で1種類に統一→因数分解
- 合成型：r sin(θ+φ) に変換→基本方程式
- 置換型：t の範囲を明示してから最大・最小
練習問題
- 0 ≤ θ < 2π で 2cos²θ − sinθ ≤ 1 を解きなさい。
- f(θ) = sinθ + cosθ の 0 ≤ θ ≤ π での最大値・最小値を求めなさい。
- 0 ≤ θ < 2π で sin2θ > cosθ を解きなさい。
解答・解説
- 解答：π/6 ≤ θ ≤ 5π/6 または θ = 3π/2
解説：2(1−sin²θ)−sinθ≤1 → 2sin²θ+sinθ−1≥0 → (2sinθ−1)(sinθ+1)≥0。sinθ≥1/2 または sinθ≤−1。 - 解答：最大値 √2（θ=π/4）、最小値 −1（θ=π）
解説：√2 sin(θ+π/4)。θ∈[0,π]でθ+π/4∈[π/4,5π/4]。最大 √2（θ=π/4）。θ=πで sin π+cos π = −1。 - 解答：π/6 < θ < π/2 または 5π/6 < θ < π または π < θ < 3π/2
解説：2sinθcosθ > cosθ → cosθ(2sinθ−1) > 0。場合分け：cosθ>0かつsinθ>1/2、またはcosθ<0かつsinθ<1/2。